4 f"c)≥a (b- = 5(b)-f(a) 1l.设∫(x)在a点附近二次可导,且∫"(a)≠0,由微分中值定理: f(a+h)-f(a)=f(a+bh)h,0<6<1 求证:limb 12.证明:若函数∫(x)在区间[a,b]上恒有∫"(x)≥0,则在[a,b]内任意两点x,x2 都有 (x)+/(x)≥f(西士五 2微积分在几何与物理中的应用 1,求下列各曲线所围成的图形面积 (1)y2=4(x+1),y2=4(1-x) (2)y=lnxl,y=0(0.1≤x≤10) (3)y=x,y=x+sinx(0≤x≤丌) =2x,x=5; (5)y=x2,y=x+5 2.求下列用极坐标表示的曲线所围图形的面积: (1)双纽线r2=a2cos2o, (2)三叶玫瑰线r=asin3q (3)蚌线r= acos+b(b≥a) 3.求下列用参数方程表示的曲线所围图形的面积: (2)摆线x=a(t-sint),y=a(1-cost)(0≤t≤2丌)及x轴 (3)圆的渐开线x=a(cost+ tsin t),y=a(sint-tcos1),(0≤t≤2丌),及半直线2 4 ''( ) ( ) ( ) ( ) f c f b f a b a  − − 11． 设 f x( ) 在 a 点附近二次可导，且 f a ''( ) 0  ，由微分中值定理： f a h f a f a h h ( ) ( ) '( ) , 0 1 + − = +     求证： 0 1 lim h 2  → = 12． 证明：若函数 f x( ) 在区间 [ , ] a b 上恒有 f x ''( ) 0  ，则在 [ , ] a b 内任意两点 1 2 x x, ， 都有 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) 2 2 f x f x x x f + +  . §2 微积分在几何与物理中的应用 1，求下列各曲线所围成的图形面积： (1) 2 2 y x y x = + = − 4( 1), 4(1 ); (2) y x y x = =   | ln |, 0 (0.1 10); (3) 2 y x y x x x = = +   , sin (0 );  (4) 2 y x x = = 2 , 5; (5) 2 y x y x = = + , 5; (6) 2 2 2 3 3 3 x y a + = ; 2．求下列用极坐标表示的曲线所围图形的面积： (1) 双纽线 2 2 r a = cos2 ;  (2) 三叶玫瑰线 r a = sin 3 ;  (3) 蚌线 r a b b a = +  cos ( ).  3．求下列用参数方程表示的曲线所围图形的面积： (1) 2 2 3 x t t y t t = − = − 2 , 2 ; (2) 摆线 x a t t y a t t = − = −   ( sin ), (1 cos ) (0 2 )  及 x 轴； (3) 圆的渐开线 x a t t t y a t t t t = + = −   (cos sin ), (sin cos ), (0 2 )  ，及半直线