法,两个球均是黑球的取法有C3种,记B为事件刚好取到一个白球一个黑球”,C为事件 两个球均为黑球”,则 P(B) C3C7_217 P(C)= 例3将标号为1,2,3,4的四个球随意地排成一行,求下列各事件的概率 (1)各球自左至右或自右至左恰好排成1,2,3,4的顺序 (2)第1号球排在最右边或最左边 (3)第1号球与第2号球相邻 (4)第1号球排在第2号球的右边(不一定相邻) 解将4个球随意地排成一行有4=24种排法,即基本事件总数为24 记(1),(2)、(3),(4)的事件分别为A,B,C,D (1)A中有两种排法故有P(A)= 2_1 (2)B中有2×(3)=12种排法,故有P(B) 121 242 (3)先将第12号球排在任意相邻两个位置,共有2×3种排法,其余两个球可在其余两个 任意排放,共有2!种排法,因而C有2×3×2=12种排法,故P(C)=12/24=1/2 (4)第1号球排在第2号球的右边的每一种排法,交换第1号球和第2号球的位置便对 应于第1号球排在第2号球的左边的一种排法,反之亦然 因而第1号球排在第2号球的右边与第1号球排在第2号球的左边的排法种数相同,各 占总排法数的12,故有P(D)=1/2 例4(E03)将3个球随机放入4个杯子中,问杯子中球的个数最多为1,2,3的概率各是 多少? 解设A,BC分别表示杯子中的最多球数分别为1,2,3的事件.我们认为球是可以区分 的,于是,放球过程的所有可能结果数为n=43 (1)A所含的基本事件数:即是从4个杯子中任选3个杯子,每个杯子放入一个球,杯子 的选法有C种,球的放法有3!种,故 P(A)=C30 (2)C所含的基本事件数:由于杯子中的最多球数3,即3个球放在同一个杯子中共有4 种放法,故 P(C) (3)由于三个球放在4个杯子中的各种可能放法为事件 AUBUC,显然 AUBUC=S, 且A,B,C互不相容,故 P(B)=1-P(A)-P(C)=16法, 两个球均是黑球的取法有 2 C3 种, 记 B 为事件“刚好取到一个白球一个黑球”, C 为事件 “两个球均为黑球”, 则 P(B) 2 10 1 7 1 3 C C C = 45 21 = , 15 7 = P(C) 2 10 2 3 C C = 45 3 = . 15 1 = 例 3 将标号为 1, 2, 3, 4 的四个球随意地排成一行, 求下列各事件的概率: (1) 各球自左至右或自右至左恰好排成 1, 2, 3, 4 的顺序; (2) 第 1 号球排在最右边或最左边; (3) 第 1 号球与第 2 号球相邻; (4) 第 1 号球排在第 2 号球的右边(不一定相邻). 解 将 4 个球随意地排成一行有 4!=24 种排法, 即基本事件总数为 24. 记(1), (2),(3), (4)的事件分别为 A,B,C,D. (1) A 中有两种排法,故有 . 12 1 24 2 P(A) = = (2) B 中有 2(3!) =12 种排法, 故有 . 2 1 24 12 P(B) = = (3) 先将第1,2号球排在任意相邻两个位置, 共有 2 3 种排法, 其余两个球可在其余两个 位置任意排放, 共有 2! 种排法, 因而 C 有 23 2 =12 种排法, 故 P(C) =12/ 24 =1/ 2. (4) 第 1 号球排在第 2 号球的右边的每一种排法, 交换第 1 号球和第 2 号球的位置便对 应于第 1 号球排在第 2 号球的左边的一种排法, 反之亦然. 因而第 1 号球排在第 2 号球的右边与第 1 号球排在第 2 号球的左边的排法种数相同, 各 占总排法数的 1/ 2, 故有 P(D) =1/ 2. 例 4 (E03) 将 3 个球随机放入 4 个杯子中, 问杯子中球的个数最多为 1, 2, 3 的概率各是 多少? 解 设 A,B,C 分别表示杯子中的最多球数分别为 1,2,3 的事件. 我们认为球是可以区分 的, 于是, 放球过程的所有可能结果数为 4 . 3 n = (1) A 所含的基本事件数: 即是从 4 个杯子中任选 3 个杯子, 每个杯子放入一个球, 杯子 的选法有 3 C4 种, 球的放法有 3! 种, 故 P(A) 3 3 4 4 3! = C . 8 3 = (2) C 所含的基本事件数: 由于杯子中的最多球数 3, 即 3 个球放在同一个杯子中共有 4 种放法, 故 P(C) 3 4 4 = . 16 1 = (3) 由于三个球放在 4 个杯子中的各种可能放法为事件 ABC, 显然 ABC = S, 且 A,B,C 互不相容, 故 P(B) =1− P(A) − P(C) . 16 9 =