例5将15名新生(其中有3名优秀生)随机地分配到三个班级中,其中一班4名,二班5 名,三班6名,求 (1)每一个班级各分配到一名优秀生的概率; (2)3名优秀生被分配到一个班级的概率 解15名优秀生分别分配给一班4名,二班5名,三班6名的分法有: 15! 4!56! (1)将3名优秀生分配给三个班级各一名,共有3!种分法,再将剩余的12名新生分配给 班3名,二班4名,三班5名,共有C=如3(种)分法根据乘法法则,每个班级分 配到一名优秀生的分法有 (种), 故其对应概率P=12/1512624 0.2637 45/456!15!91 (2)用A1表示时间“3名优秀生全部分配到i班”(i=12,3) A中所含基本事件个数m=C12C1=12 A2中所含基本事件个数m2=C1 12 4!1! 4中所含基本事件个数m3=C1C8-345 由(1)中分析知基本事件的总数n 15所以 4156 P(4)=m112/15412=000879 n56/456!15 P(A2)=m2。12 15!1215! =0.02198 n246/456!25 P(43)=m2_12 1216=00 n314!5 315! 因为A1,A2,43互不相容,所以3名优秀生被分配到同一班级的概率为 P(A)=P(41UA2UA3)=P(A1)+P(A2)+P(43)=0.07473 注:在用排列组合公式计算古典概率时,必须注意在计算样本空间S和事件A所包含的 基本事件数时,基本事件数的多少与问题是排列还是组合有关,不要重复计数,也不要遗漏. 例6(F04)在1-~2000的整数中随机地取一个数,问取到的整数既不能被6整除,又不能 被8整除的概率是多少? 解设A为事件“取到的数能被6整除”,B为事件“取到的数能被8整除”,则所求概 率为 P(AB)=P(AUB)=1-P(AUB)=1-P(A)+P(B)-P(AB))例 5 将 15 名新生(其中有 3 名优秀生)随机地分配到三个班级中, 其中一班 4 名, 二班 5 名, 三班 6 名, 求: (1) 每一个班级各分配到一名优秀生的概率; (2) 3 名优秀生被分配到一个班级的概率. 解 15 名优秀生分别分配给一班 4 名, 二班 5 名, 三班 6 名的分法有: 6 6 5 11 4 C15C C 4!5!6! 15! = (种). (1) 将 3 名优秀生分配给三个班级各一名, 共有 3!种分法, 再将剩余的 12 名新生分配给 一班 3 名, 二班 4 名, 三班 5 名, 共有 5 5 4 9 3 C12C C 3!4!5! 12! = (种)分法. 根据乘法法则, 每个班级分 配到一名优秀生的分法有: 3!4!5! 12! 3! 4!5! 12! = (种), 故其对应概率 P 4!5!6! 15! 4!5! 12! = 15! 12!6! = 91 24 = = 0.2637. (2) 用 Ai 表示时间 “3 名优秀生全部分配到 i 班” (i =1,2,3). A1 中所含基本事件个数 m1 5 11 1 = C12 C 5!6! 12! = A2 中所含基本事件个数 m2 2 8 4 = C12 C 2!4!6! 12! = A3 中所含基本事件个数 m3 5 8 4 = C12 C 3!4!5! 12! = 由(1)中分析知基本事件的总数 , 4!5!6! 15! n = 所以 ( ) P A1 n m1 = 4!5!6! 15! 5!6! 12! = 15! 4!12! = = 0.00879. ( ) P A2 n m2 = 4!5!6! 15! 2!4!6! 12! = 2!15! 12!5! = = 0.02198. ( ) P A3 n m3 = 4!5!6! 15! 3!4!5! 12! = 3!15! 12!6! = = 0.04396. 因为 1 2 3 A , A , A 互不相容, 所以 3 名优秀生被分配到同一班级的概率为: P(A) ( ) = P A1  A2  A3 ( ) ( ) ( ) = P A1 + P A2 + P A3 = 0.07473. 注: 在用排列组合公式计算古典概率时, 必须注意在计算样本空间 S 和事件 A 所包含的 基本事件数时, 基本事件数的多少与问题是排列还是组合有关, 不要重复计数, 也不要遗漏. 例 6 (E04) 在 1~2000 的整数中随机地取一个数, 问取到的整数既不能被6 整除, 又不能 被 8 整除的概率是多少? 解 设 A 为事件 “取到的数能被 6 整除”, B 为事件 “取到的数能被8 整除”, 则所求概 率为 P(AB) = P(A B) =1− P(A B) =1−{P(A) + P(B) − P(AB)}