394 高等数学重点难点100讲 第90讲线面积分概念题选讲 例1下面的解法哪些是正确的?为什么? (1)设D由x2+y2=1围成,求I1= +x2+y 由于x2+y2=1所以 于是 「l D 2)由x2+y2+x2=1圄成求l2=(x2+y2+z2)dv 因为x2+y+2=1,所以12=「(x2+y2+x2)d=1d=2x 3)设曲线L为:x2+y2=1,求l=中(x2+y2)ds L 由于x2+y2=1,所以l3=中(x2+y2)ds=中lds=2丌 (4)设曲面∑为:x2+y2+x2=1,求I4=(x2+y2+z)dS. 因为x2+y2+x2=1,所以I=(x2+y2+x2)ds=‖lds=4x (5)设L是x2+y2+2x=1的正向一周,D是L所围成的区域,求 In(x'+y)dr +e>dy x2+y2+2x In(x'+ y)dr+e dy n(1-2x)da=‖loda=0 解I1与I2的解法是错误的,I3、4与l5的解法是正确的,产生错误的原因是对二重 重、曲线、曲面积分的概念一知半解 对l1来说积分域D是圆周x2+y2=1围成的闭区域,点(x,y)不仅仅在圆周上变动 而是在整个闭区域上变动.当点在圆周L上时,x,y满足x2+y2=1;当点(x,y)在上述区 域D的内部时,x,y就不满足x2+y2=1了,所以将x2+y2=1代入被积函数中进行化简 是不对的正确的解法是:因为积分区域关于x轴及y轴都对称同时被积函数关于x与y都 是偶函数设D在第一象限的部分为D1,由对称性得 d1vitrardrdo- 、千d d(r2) r[ arcsin2+1-]|=2(x-2) I2错误与l1错误的性质相同:x2+y2+z2=1仅为积分域边界曲面上的点的特征,而 三重积分的积分变量在球域:x2+y2+z2≤1上变化 正确的解法是