第90讲线面积分概念题选讲 395 I,= singdrdgde=. de sinop,rdr=5T I正确是因为曲线积分的积分变量只是在曲线x2+y2=1上取值因此,可将被积函数 f(x,y)=x2+y2用1作整体代换 14正确的理由与l3类同.因为被积函数为f(x,y,z)=x2+y2+z2,积分曲面2的方 程为x2+y2+x2=1,这样,在Σ上被积函数为常数1,又因Σ为特殊形状曲面一球面,它 的面积易求,所以先化简再计算就简单了 I5的解法很巧妙!此题直接用计算公式求解几乎不可能.也不能直接用格林公式因为 分母在原点为零但在L上有x2+y2+2x=1,故l=n(1-2x)dx+edy,此时便 可用格林公式求得结果. 小结曲线积分曲面积分与二重积分、三重积分在计算上有一个不同之处,就是:计算 曲线积分或曲面积分时,可以将积分曲线或积分曲面的方程代入被积函数中进行化简,这是 因为曲线积分或曲面积分中积分变量在积分曲线或积分曲面上取值它们满足积分曲线或 积分曲面的方程;而二重积分、三重积分就没有类似的性质.重积分中的积分变量是在整个 积分区域上取值,所以不能将积分区域的边界方程代入被积函数中化简. 例2下面一个题目给出多种解法,请指出哪些解法是错误的,为什么? 求=x+dx+x+ydy其中L为从点A(一a,0)经上半椭圆+=1(0 <b<a,y≥0)到达点B(a,0)的弧段,见图90-1 解法1如图902,补下半圆L1:x2+y2=a2(y≤0),则L+L1围成一封闭区域D. 由于P= 且 a f(-a.0) B(a,0) 图90-1 图90-2 2xy aP (x2+y2)2 由格林公式得 dx 令x=acos,y=asin,得 L(- asin)(-@)+(acos+ D asin@)acos ]do=- do=r (-a,0)OB(a.0)x 解法2见图90-3,补上线段BOA:y=0(-a≤x≤a), 记为L1,则L+L1围成闭域D,由格林公式得 图903