第10讲向量组的秩与向量空间 47· 第10讲向量组的秩与向量空间 在上一讲我们已看到,判断一个向量组的线性相关性时,它所构成的矩阵的秩起着十分 重要的作用.它不仅提供了判断线性相关性的一种简便方法,而且使抽象概念变得直观具 体.在这一部分要熟悉最大线性无关向量组(简称最大无关组)、向量组的秩及向量空间的 基本概念,并熟悉由矩阵秩的定义及向量组线性无关的充要条件推出“矩阵的秩等于它的列 (或行)向量组的秩”的有关定理,熟悉这些内容,将使得求向量组的秩及其最大无关组变 得简便 关于向量组的秩及最大无关组的求法 求向量组的最大线性无关组的常用方法有两种:方法一:录选法.其步骤是①在向量 组中任取一个非零向量作为a,;②取一个与a,的对应分量不成比例的作为a1;③取一个 不能由a,,a,表示的向量作为a,继续下去便可求出向量组的最大无关组.该法适用于 向量组中向量个数较少的情形 方法二:行初等变换法.其步骤为①将向量组中各向量作为矩阵的列;②对上述矩阵 作行初等变换;③变成阶梯形矩阵后,每一阶梯上取一列,则对应的向量所构成的向量组即 为最大线性无关组 例1设向量组为:a1=(2,1,4,3),a2=(-1,2,-6,6),a3=(-1,-2,2,-9), a:=(1,1,-2,7),a5=(2,4,4,9),试求向量组的秩及一个最大无关组 解以a1,a2,a3,a4,a5为列构成一矩阵,然后对其作初等行变换,则 0-104 2-2 变辍 01-103 A=(a1,a2,a3,a4,a5)= 4-62-24 0002-6 6-979 000-00 由上述行阶梯形有三个非零行可知,R(A)=3,即向量组的秩为3.而向量组的一个最大无 关组是a1,a2,a4(或a1,a2,a5等) 注:向量组的最大无关组不唯一,即任何含有R(A)个线性无关的向量组都可以作 为该向量组的一个最大无关组 例2试求矩阵 25311743 759453132 759454134 25322048 的列向量的秩及一个最大无关组 解对A施行初等行变换(注意:只能用行的初等变换!)