线性代数重点难点30讲 25311743 25311743 25311743 759453132 0123 759454134"4-n0135 25322048 0135 0000 由行阶梯形矩阵有三个非零行可知,R(A)=3,而一个最大无关组是a1,a2,a3 例3判定下列向量组的线性相关性,并求出其一个最大无关组 a1=(2,1,3,-1),a2=(3,-1,2,0),a3=(1,3,4,-2),a;=(4,-3,1,1) 解与例1、例2类似,仍是把向量组写成矩阵的形式,对其进行初等行变换化为阶梯 形,则矩阵的秩就是这个向量组的秩,非零行对应的向量便组成一个最大线性无关组 设向量组构成的矩阵为A,则 31 A=(a1,a2,a3,a:)= 2131 24 2 13-3 000 551 510 10-2 0-11 74-n05-510 0000 000 0000 由此可知R(A)=2<4,则对应的列向量组a1,a2,a3,a4的秩为2.因此该向量组线性相 关,且a1,a2,为其一个最大无关组 注意当a1,a2,a3,a4为行向量时,这时应构造A为A=(a1,a2,a3,a),仍只能用 行初等变换这一点必须特别注意 例4设向量组A:a1,a2,…,an的秩为n1,向量组B:b1,b2,…,b的秩为r2,向量组 C:a1,a2…,a,b1,b2,…,b1的秩为r3,证明:mn1,n2}≤n≤n+r2 证显然,向量组A、B都能由向量组C线性表示,故有1≤,≤,因面有 设向量组A的最大无关组为A0:a,a4,…,an,向量组B的最大无关组为Bo:b b2…,b2·则向量组C能由向量组An与向量组B构成的向量组(A,Bn)线性表示,故 r3≤R(A0,B1)≤n1+n2 (10.2) 由(10.1),(10.2)式可得:mxr,r2≤r≤r1+r2 例5设A与B都是m×n矩阵,证明:R(A+B)≤R(A)+R(B) 证显然 R(A+B)≤R(A+B,B), (10.3)