第1讲向红的秋与向量空间 49 又因(A+B,B)初等列变换→(A,B),而初等列(行)变换不改变矩阵的秩故R(A+B,B) =R(A,B)设A,B0分别为A,B列向量组的最大无关组构成的矩阵,则R(A0)=r, R(B0)=s.由例4可知 R(A,B)≤R(A0,B0)≤r+s=R(A)+R(B), (10.4) 由(10.3),(10.4)式可知R(A+B)≤R(A)+R(B) 例6已知向量组:(I)a1,a2,a3,;(Ⅱ)a1,a2,a3,ax4;(Ⅲ)a1,a2,3,a3,如果各向 量组的秩分别为R(I)=R(Ⅱ)=3,R(Ⅲ) 明向量组a1,ax2,a3,ax3-a4的秩为 证由R(I)=R(Ⅱ)=3,知a1,a2,a3线性无关,而a1,ax2,a3,a4线性相关,故a 可以由a1,a2,a3唯一线性表示,即存在数A1,k2,3,使 a4=A1a+A2a2+ A3 a3 以a1,a2,3,a3-a为行向量构成矩阵A,即 因为初等变换不改变矩阵的秩,故 R(A)=R(B)=R(Ⅲ)=4, 即向量组a1,a2,a3,a5-a4的秩为4 二、向量空间的有关例题 例7设由向量组a1=(0,1,2)2,a2=(1,3,5),a3=(2,1,0)生成的向量空间记 作V1,由向量组b1=(1,2,3),b2=(-1,0,1)生成的向量空间记作V2证明: 证由于向量空间是相应的向量的一个非空集合(要求对加法及数乘运算封闭),故要 证明V1=V2,应按集合相等方法证明 VI=lx=A,ar+A2a2+a3a3 I Au,A2,A3ERI, V2=ix=Ab,+pab: IA1 A2). 显然,要证明V1=V2,即设x∈V1,因x可由a1,a2,a3线性表示,若能证明a1,a2, a3能由b1,b2线性表示,则x∈V2,即可证明V1cV2;同理,若设x∈V2,同样必须证明 b1,b2能由a1,a2,a3线性表示,即可证v2CV;由此证出V1=V2证出结论的关键在 证a1,a2,a3与b1,b2两个向量组等价 证明两个向量组等价的方法很多.现利用下述方法 设A=(a1,a2,a3),B=(b1,b2), 「012:1-1 131:2 则(A,B)=13120 012:1-1