50· 线性代数重点难点30讲 0 000:00 y.0121-1 (A,B)=2 由此可知a1,a2及b1,b2都是向量组{A,B}的最大无关组,故a1,a2与b1,b2等价.又a3 可由a1,a2线性表示,所以a1,a2,a3可由a1,a2线性表示,而a1,a2也能由a1,a2,a3线性 表示,故a1,a2,a3与a1,a2,等价,由等价的传递性可知a1,a2,a3与b1,b2等价 例8验证a1=(1,-1,0),a2=(2,1,3),a3=(3,1,2)为R的一个基.并求向 量b=(5,0,7)在此基下的坐标 解R3为3维向量空间所以R3中任何3个线性无关的向量都可以作为R2的一个基 因 (a 111 23 034 00-2 故 R(A)=3 因此,a1,a2,a3线性无关,由此可知a1,a2,a3是R3的一个基 b是一个3维向量.它可由R的基a1,a2,a3线性表示为b=Ax,其中x=(x1,x2, x3).即解方程组 032:7 032 12315x(2 →0309 0103 010 001-1 001-1 由此可得唯一解x1=2,x2=3,x3=-1.则b在给定基下的坐标为(2,3,-1)2,且 b=2a1+3