第1期 王学滨等：单轴压缩条件下普通混凝土柱的峰后非线性尺寸效应 27。 将。对e微分，可以得到： 变的增量.当一△t/ci乘以w,可以获得平均塑性 2- (2) 剪切变形的增量.该增量可以分解为水平及垂直部 分，垂直部分等于△. 在Smn模型中初始弹性模量E=.-。为 根据剪切带之外任意弹性体在水平及垂直方向 上的平衡条件，可以得到依赖于o:及α的的表达 20e Ee 式.类似地，计1与o+1有关.差值G一计1可以表 示为： 12宏观非线性应力一应变曲线峰后斜率推导 当应变局部化启动之后，剪切带之外的混凝土 -+1=听二)n2a 2 (7) 将根据初始弹性模量E卸载.假定剪切带内部混 总轴向变形增量△⑧可被分解为△与△. 凝土的破坏由与y轴（其原点O位于剪切带的中 这种方法被称之为位移法.这样，△©可以写 心)垂直的剪切应力τ引起，见图1(.忽略作用于 为： 剪切带边界上的压缩应力对剪切带内部混凝土破坏 △G=△&+△8 (8) 的影响.剪切带内部混凝土的非线性应变软化本构 总轴向应变的增量△ei为： 关系见图1(c.图1(d)是在单轴压缩条件下通过 测量得到的一个典型全程应力一应变曲线. a-=29 (9) 若干线段可以近似替代一条非线性曲线.若这 利用式(4)~(9)，可以得到下列表达式： 些线段的长度足够小，则这种线性化处理不会导致 1-wcos asina- 过大的误差.t一Y曲线上的线段的一个典型aa 入 △EE 10) Lc 及一e曲线上的线段的一个典型bb分别见图1(c) 1.3峰后的非线性软化本构关系预测 和(d).两个线段的斜率分别为一c:及入.c:及入 由式10)可以发现，推导出的宏观应力一应变 可以分别表示为： 曲线的峰后斜率入依赖于混凝土试样的几何尺寸. 9=一=-会≥0 3 因此，入不能被视为一个材料特性.事实上，它既反 △YB 映了本构参数效应，又反映了几何参数效应 入，=+1-i△ 利用式(3)及式(7)，可以分别得到c:及△的 △Ei =△ (4) 表达式： 式中，YP是剪切带内部的平均塑性剪切应变：△ ci=wcos asin a1 △e-1 E△o 11) 及△E,分别是剪切带内部的平均塑性剪切应变的增 L 量及轴向应变的增量；c:被称之为剪切软化模量， △yg=+sin2a (12) 保持为正值是因线段而异的一个本构参数描述材 料的峰后脆性：入是宏观应力一应变曲线的峰后斜 利用某种尺寸的实测应力一应变曲线，且选择 率，可正可负，入不是本构参数：△：是当压缩应力 合适的w及a值，已知△Ei、△oi、E及L,随剪切应 从：降至+1时作用于剪切带上的剪切应力的增 力而变化的剪切软化模量G可由式(11)确定.另 量：△σ：是作用于混凝土试样上、下端面的压缩应力 外，需要考虑下列初始条件：当i=1时，=τe且 的增量. o1=6。.当C:确定之后，△Y可由式(12)计算.对 在峰后，当压缩应力从ō；降至+1时，由虎克 △Y求和，可以得到Y. 定律，轴向弹性变形的增量△香可以表示为： 一旦反算出了峰后的非线性软化本构关系，利 △--g4K0 用式(1)及式(10)就可以预测其他高度的混凝土试 (5) 样的峰后应力应变曲线. 假定混凝土高度方向上的塑性变形源于沿着剪 切带剪切方向上的剪切滑移.这样，轴向塑性变形 2算例及讨论 的增量△零可以表示为： 在单轴压缩条件下，高度为0.2m的普通混凝 △G=-w△osa=-t山wms心0(6) 土试样的典型应力-应变曲线？见图2(a).在本文 G 中，将峰后的应力一应变曲线用16段线段(17个数 式中，一△τ/G等于剪切带内部的平均塑性剪切应 据点)近似.利用o。=45MPa、I=0.002m、L=将 σ对ε微分, 可以得到: d σ dε =σc 2 εc -2ε ε2 c ( 2) 在Sco tt 模型中, 初始弹性模量 E = dσ dεε=0为 2σc εc . 1.2 宏观非线性应力-应变曲线峰后斜率推导 当应变局部化启动之后, 剪切带之外的混凝土 将根据初始弹性模量 E 卸载 .假定剪切带内部混 凝土的破坏由与 y 轴( 其原点 O 位于剪切带的中 心)垂直的剪切应力 τ引起, 见图1( a) .忽略作用于 剪切带边界上的压缩应力对剪切带内部混凝土破坏 的影响.剪切带内部混凝土的非线性应变软化本构 关系见图 1( c) .图 1( d) 是在单轴压缩条件下通过 测量得到的一个典型全程应力-应变曲线. 若干线段可以近似替代一条非线性曲线.若这 些线段的长度足够小, 则这种线性化处理不会导致 过大的误差 .τ-γ p 曲线上的线段的一个典型 aa′ 及σ-ε曲线上的线段的一个典型bb′分别见图 1( c) 和( d) .两个线段的斜率分别为 -ci 及 λi .ci 及 λi 可以分别表示为 : ci =- τi +1 -τi Δγp i =- Δτi Δγp i >0 ( 3) λi = σi+1 -σi Δεi = Δσi Δεi ( 4) 式中, γp 是剪切带内部的平均塑性剪切应变;Δγp i 及 Δεi 分别是剪切带内部的平均塑性剪切应变的增 量及轴向应变的增量 ;ci 被称之为剪切软化模量, 保持为正值, 是因线段而异的一个本构参数, 描述材 料的峰后脆性;λi 是宏观应力-应变曲线的峰后斜 率, 可正可负, λi 不是本构参数;Δτi 是当压缩应力 从σi 降至 σi+1时作用于剪切带上的剪切应力的增 量;Δσi 是作用于混凝土试样上 、下端面的压缩应力 的增量. 在峰后, 当压缩应力从 σi 降至 σi +1时, 由虎克 定律, 轴向弹性变形的增量 Δδe i 可以表示为 : Δδ e i = ΔσiL E = σi+1 -σi E L <0 ( 5) 假定混凝土高度方向上的塑性变形源于沿着剪 切带剪切方向上的剪切滑移.这样, 轴向塑性变形 的增量 Δδp i 可以表示为 : Δδp i =- w Δτicosα ci = τi -τi +1 ci wcosα>0 ( 6) 式中, -Δτi/ ci 等于剪切带内部的平均塑性剪切应 变的增量 .当 -Δτi/ ci 乘以 w , 可以获得平均塑性 剪切变形的增量.该增量可以分解为水平及垂直部 分, 垂直部分等于 Δδp i . 根据剪切带之外任意弹性体在水平及垂直方向 上的平衡条件, 可以得到依赖于 σi 及α的 τi 的表达 式 .类似地, τi+1与 σi +1有关.差值 τi -τi+1可以表 示为: τi -τi +1 = σi -σi+1 2 sin2α ( 7) 总轴向变形增量 Δδi 可被分解为 Δδ e i 与 Δδ p i . 这种方法被称之为位移法 [ 3-4] .这样, Δδi 可以写 为 : Δδi =Δδe i +Δδp i ( 8) 总轴向应变的增量 Δεi 为 : Δεi = Δδi L ( 9) 利用式( 4) ～ ( 9), 可以得到下列表达式: λi = Δσi Δεi = 1 E -w cos 2 αsinα Lci -1 ( 10) 1.3 峰后的非线性软化本构关系预测 由式( 10) 可以发现, 推导出的宏观应力-应变 曲线的峰后斜率 λi 依赖于混凝土试样的几何尺寸. 因此, λi 不能被视为一个材料特性.事实上, 它既反 映了本构参数效应, 又反映了几何参数效应. 利用式( 3)及式( 7), 可以分别得到 ci 及 Δγp i 的 表达式 : ci = wcos 2αsin α L 1 E - Δεi Δσi -1 ( 11) Δγp i = σi -σi +1 2ci sin2 α ( 12) 利用某种尺寸的实测应力-应变曲线, 且选择 合适的 w 及 α值, 已知 Δεi 、Δσi 、E 及 L, 随剪切应 力而变化的剪切软化模量 ci 可由式( 11) 确定 .另 外,需要考虑下列初始条件 :当 i =1 时, τ1 =τc 且 σ1 =σc .当 ci 确定之后, Δγp i 可由式( 12) 计算 .对 Δγp i 求和, 可以得到 γp . 一旦反算出了峰后的非线性软化本构关系, 利 用式( 1) 及式( 10)就可以预测其他高度的混凝土试 样的峰后应力-应变曲线 . 2 算例及讨论 在单轴压缩条件下, 高度为 0.2 m 的普通混凝 土试样的典型应力-应变曲线[ 2] 见图 2( a) .在本文 中, 将峰后的应力-应变曲线用 16 段线段( 17 个数 据点) 近似.利用 σc =45 M Pa 、l =0.002 m 、L = 第 1 期 王学滨等:单轴压缩条件下普通混凝土柱的峰后非线性尺寸效应 · 27 ·