§3函数极限存在的条件 1.述函数极限lmf(x)的归结原则,并应用它证明 lim cos x不存在 设∫为定义在[a+∞)上的增(减)函数证明:lmf(x)存在的充要条件是∫在[a+∞ 上有上(下)界 3.(1)叙述极限lmf(x)的柯西准则; (2)根据柯西准则叙述lmf(x)不存在的充要条件,并应用它证明 lim sin x不存在 4.设∫在U(x0)内有定义。证明:若对任何数列{xn}cU"(x)且mxn=x,极限 imf(xn)都存在,则所有这些极限都相等 5.设∫为∪P(x)上的递增函数。证明:f(x0-0)f(x0+0)都存在,且 flxo-0)=sup f(x)/(xo+0)=inf f(x) re(ro) 6.设D(x)为狄利克雷函数,x0∈R。证明:lmD(x)不存在 7.证明:若∫为周期函数,且lmnf(x)=0,则f(x)=0 证明定理3.9 §4两个重要的极限 1.求下列极限 sIn 2x (1)im (2)lm six x→0 x (3)lim Cos x (4) lim 2 x (5)lim tan xr-sin x (6)lim arctan x x→0 (7) lim xsin (8)im sin x-sin a x-a (9)Im sin 4x (10) lim 求下列极限 (1)lim (2)lm(1+ax3 §3 函数极限存在的条件 1． 述函数极限 lim f (x) x→+ 的归结原则，并应用它证明 x x lim cos →+ 不存在 2． 设 f 为定义在 a,+) 上的增（减）函数。证明： lim f (x) x→+ 存在的充要条件是 f 在 a,+) 上有上（下）界 3． （1）叙述极限 lim f (x) x→− 的柯西准则； （2）根据柯西准则叙述 lim f (x) x→− 不存在的充要条件，并应用它证明 x x lim sin →− 不存在 4． 设 f 在 ( ) 0 0  x 内有定义。证明：若对任何数列   ( ) 0 0 x x n   且 0 lim x x n n = → ，极限 ( ) n n f x → lim 都存在，则所有这些极限都相等 5． 设 f 为 ( ) 0 0  x 上的递增函数。证明： ( 0), ( 0) f x0 − f x0 + 都存在，且 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x f x f x f (x) x x x  x  0 0 0 0 0 sup , 0 inf 0 0 + −   − = + = 6． 设 D(x) 为狄利克雷函数， x0  R 。证明： D(x) x x0 lim → 不存在 7． 证明：若 f 为周期函数，且 lim ( ) = 0 →+ f x x ，则 f (x)  0 8． 证明定理 3.9 §4 两个重要的极限 1． 求下列极限： （1） x x x sin 2 lim →0 ； （2） ( ) 2 3 0 sin sin lim x x x→ ； （3） 2 cos lim 2   − → x x x ； （4） x x x tan lim →0 ； （5） 3 0 tan sin lim x x x x − → ； （6） x x x arctan lim →0 ； （7） x x x 1 lim sin →+ ； （8） x a x a x a − − → 2 2 sin sin lim ； （9） 1 1 sin 4 lim 0 + − → x x x ； （10） x x x 1 cos 1 cos lim 2 0 − − → 2． 求下列极限： （1） x x x − →       − 2 lim 1 ； （2） ( ) x x x 1 0 lim 1+ → ；