例6设 cos by,求二阶偏导数 a-u b ae cos by be cos by, -abe sin by abasin by ava 问题:混合偏导数都相等吗?具备怎样的条件才相等? 定理如果函数z=f(x,y)的两个二阶混合偏导数及。二在区域D内连 avax 续,那末在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等. 例7验证函数u(x,y)=h√x2+y2满足拉普拉斯方程 解:h√x2+ au (x2+y2)2(x2+y2)2 a- (x2+y2)2 y2) ax2ay2(x2+y2)2(x2+y2)2=0 三、小结 偏导数的定义(偏增量比的极限) 偏导数的计算、偏导数的几何意义 高阶偏导数:纯偏导、混合偏导(相等的条件) 思考题 若函数∫(x,y)在点f(x0y)连续,能否断定f(x,y)在点B(x0,y)的偏导数必 定存在 思考题解答 不能例如,f(xy)=√x2+y2,在(00)处连续,但f(00)=f(00)不存6 例 6 设 u e by ax = cos ，求二阶偏导数. 解 ae cosby, x u ax =   be sin by; y u ax = −   cos , 2 2 2 a e by x u ax =   cos , 2 2 2 b e by y u ax = −   sin , 2 abe by x y u ax = −    sin . 2 abe by y x u ax = −    问题：混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？ 定理 如果函数 z = f (x, y) 的两个二阶混合偏导数 y x z    2 及 x y z    2 在区域 D 内连 续，那末在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等． 例 7 验证函数 2 2 u(x, y) = ln x + y 满足拉普拉斯方程 解 ln( ), 2 1 ln 2 2 2 2  x + y = x + y , 2 2 x y x x u + =    , 2 2 x y y y u + =   , ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y y x x y x y x x x u + − = + + −  =    . ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y x y x y x y y y y u + − = + + −  =   2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) (x y ) x y x y y x y u x u + − + + − =   +    = 0. 三、小结 偏导数的定义（偏增量比的极限） 偏导数的计算、偏导数的几何意义 高阶偏导数：纯偏导、混合偏导（相等的条件） 思考题 若函数 f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 0 P x y 连续，能否断定 f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 0 P x y 的偏导数必 定存在？ 思考题解答 不能.例如, ( , ) , 2 2 f x y = x + y 在 (0,0) 处连续, 但 (0,0) (0,0) x y f = f 不存 在