银川科技职业学院《高签数学》救朱 第九章重积分 S9.3 三重积分 一、三重积分的概念 定义设x,y,)是空间有界闭区域2上的有界函数.将2任意分成n个小 闭区域 △V1,△2，··，△m 其中△”，表示第i个小闭区域，也表示它的体积.在每个△y上任取一点(5，， ,作乘积5,7,5△(=1,2，，m并作和2fGn,5)△y.如果当各小闭 i=l 区域的直径中的最大值入趋于零时，这和的极限总存在，则称此极限为函数 九x,y)在闭区域Q上的三重积分，记作∬f化，y=如.即 /xyh=m2fGh,5Am. Q 1-0=1 三重积分中的有关术语： 一一积分号，x,y)一一被积函数，x,, 2 2)dv- 被积表达式，体积元素，x,y,一一积分变量，2一一积分区域， 在直角坐标系中，如果用平行于坐标面的平面来划分2，则△=△x:△y△二：， 因此也把体积元素记为dw=drd小yd,三重积分记作 ∬fcy,h=j∬fxy太t. 当函数f化，y,在闭区域Q上连续时，极限m2fG,5)△y是存在的， 10=引 因此x,y)在2上的三重积分是存在的，以后也总假定x,y,)在闭区域2上 是连续的. 三重积分的性质：与二重积分类似， 比如 efy壮cgy=G∬/@w.y.-xhvtefg(x.y.-; ∬/xy=∬fxy+j∬fcy=: 21+22 21 2, ∬=，其中V为区域Q的体积 二、 三重积分的计算 1.利用直角坐标计算三重积分 三重积分的计算：三重积分也可化为三次积分来计算.设空间闭区域Ω可 表为 第10页银川科技职业学院《高等数学》教案 第九章 重积分 第 10 页 §93 三重积分 一、三重积分的概念 定义 设 f(x y z)是空间有界闭区域上的有界函数 将任意分成 n 个小 闭区域 v1 v2     vn 其中vi 表示第 i 个小闭区域 也表示它的体积 在每个vi 上任取一点(i  i  i) 作乘积 f( i   i   i)vi(i1 2    n)并作和 i i i i n i f v   ( , , ) 1     如果当各小闭 区域的直径中的最大值  趋于零时 这和的极限总存在 则称此极限为函数 f(x y z)在闭区域上的三重积分 记作 f x y z dv   ( , , )  即 i i i i n i f x y z dv  f v     ( , , ) lim  ( , , ) 1 0      三重积分中的有关术语   ——积分号 f(x y z)——被积函数 f(x y z)dv——被积表达式 dv 体积元素 x y z——积分变量 ——积分区域 在直角坐标系中 如果用平行于坐标面的平面来划分 则vixi yizi  因此也把体积元素记为 dv dxdydz 三重积分记作     f (x, y,z)dv f (x, y,z)dxdydz 当函数 f (x y z)在闭区域上连续时 极限 i i i i n i f v   lim  ( , , ) 1 0     是存在的 因此 f(x y z)在上的三重积分是存在的 以后也总假定 f(x y z)在闭区域上 是连续的 三重积分的性质 与二重积分类似 比如 c f x y z c g x y z dv c f x y z dv c g x y z dv       [ ( , , ) ( , , )]  ( , , )  ( , , ) 1 2 1 2  f x y z dv f x y z dv f x y z dv          1 2 1 2 ( , , ) ( , , ) ( , , )  dvV    其中 V 为区域的体积 二、三重积分的计算 1 利用直角坐标计算三重积分 三重积分的计算 三重积分也可化为三次积分来计算 设空间闭区域可 表为