证明我们考虑X中一维子空间X1={xa为复数},在x1 上定义泛函f1(ax)-f1(ax)alxo,其中x=cx∈x1,它显然是 线性泛函,又因为f1(x)|=|a!}x=|ll,故∫是X1上线性连 续泛函,并且!f1x,=1,由定理3,存在整个空间X上线性连续泛 函f,它是∫1的延拓,并且!x=f1x1=1,特别取xxb∈x1,所 以f(x0)=f1(x)=1xo,.证毕 推论1设X是线性赋范空间,x∈X,着对X上所有线性连续 泛函f,均有f(x)=0,则必有x=-0 这由定理4,运用反证法立即可得 §2.C[a,b的共轭空间 前面我们已经订论过一些空间的共轭空间,如()=l”, (")′=1,其中1+1=1,p>1.这一节我们要投出[a,b上连 续函数所构成的空间C[a,b]的共轭室间,这是 Riesz的著名工 作,它也可以看作是Hahn- Banach定理的-个重要应用 设9(t)是区间[ab]上的圈变函数,V(g)为g(t)在[a,] 上的全变差由第五章§9定理2,积分f(4)dg(4)存在,其中f ∈C[a,b],读者不难证明成立 f(1)d(t)≤mxft)·V(g)=!升,V(g).(1) 作C[ab]上泛函 F(f)=f(t)dg(t), fECCa, 6] (2) 由第五章§9定理1,P是C[a,b]上线性泛函,由(1)式可知F 是C[ab上线性连续泛函并且F≤V(g).我们自然会问:50