x因升可加,故f满足可加性是显然的,现只须证f对乘以复 数a=a,满足f(ax)=(x),事实上, f(a÷b)x)=f1(ax·ibx)-f1(ax-bx) =a1(x):b71(ax)-ia子(ix)十ib了,(x) (a+i)[f1(x)-i1(x)]=(a})(x) 下面证|f(x)≤p(x),x∈互,若f(x)0,则结论显然成立; 若X,使f(x)与0,设f(x)=e|f(x)|,于是|(x)=f(x)e =f(e"x)=f1(e-"x)-i(ie“x),但因f(x)是实数,故 f(x)|=f1(e-x),由于f1满足|f;(x)|≤p(x),x∈X,故 f(x)|=f(e"x)≤p(e“x)=ie“6lp(x)=p(x).证毕 定理1和定理2中事实上并未涉及到X上范数或度量等概 念,而完全是线性问题.下面我们把Hahn- Banach定理用于线 性赋范空间的恃况,得出两个重要的定理 定理3·设∫是赋范空间X的子空间z上的线性连续泛函, 则必存在X上线性连续泛函子,它是f的保范延拓,即当xZ时, 有 f(x)=f(x),并且fx=!f. 证明因为在Z上有|f(x)≤1fx,而(x)=|fzlx是 X上次线性泛函,由定理2,存在子,它是∫在全空间X上的延拓, 并且满足f(x)|≤P(x)=fzx,x∈王,这说明f是X上线性连 续泛函,并且1x≤x,另一方面,X的单位球包含Z的单位球, 故 A: x=supl](c)IsupIf()=suplf(a)|=Ifi 所以x=1∫z.证毕 定理4设X是线性狱范空间,x∈X,如=0,則必存在x上 的线性有界泛函∫(x),使得f|=1,许且∫(x)=1zl49