f(x是定义在X的子空间Z上的实或复的线性泛函,且满足 f(x)≤P(x),x∈Z, 则存在X上线性泛函j,它是∫的延拓,且满足 f(x)|≤P(x),X 证明,(1)若X是实线性空间,由定理1,知存在实线性泛函 子(x),它是f的延拓且满足f(x)≤P(x),xX,又由于对任何x ∈X,f(-x)≤p(·x):p(x),所以f(x)≥-p(x),因而 ∫(x)|≤P(x),x∈X (2)若X是复线性空间,则f是Z上复线性泛函,设f(x)= f;(x)+i2(x),其中f1(x)和f2(x)分别为f(x)的实部和虚部.另 一方面,由于复线性空间也可以看作实线性空间,设X和Z分 别表示实线性空间X和Z,于是东1可看成在2上的实线性泛 函,由于|f1(x)≤|f(x)≤P(x),Z=Z,由定理1,存在x上 实线性泛函f1(x),使1(x)是f(x)的延拓,并且子1(x)≤?(x),z 我们现在回过来看Z上复线性泛函∫.对Z,由于∫是复 线性泛函,所以i(x)=∫(ix),z∈Z,于是有 if(x)=i[f1(x)+i2(x)]=∫(x)=f1(多x)+i2(ix), 比较实部,可知-f2(x)=f1(ix),我们不妨设想,当x∈X时,仍有 -12(x)=f1(ix)成立,其中f1(x)和子2(x)分别为所求泛函子的实 部和虚部,因而有理由令 f(e)-f,(c)-if, (iz),rEX (注意:x,和X的元素相同,i∈X=X,故f;(ix)有意义),这样 定义的f(x)是∫(x)的延拓事实上,当x∈z时,ix∈Z,所以 f(a)=f(x)if, (ir)=f(a)-if, (ir) f (a)iif(r)=f(r) 现在只须证f(x)是X上线性泛函,且成立|f(x)|≤p(x),x∈48