第五章四块问题的解 85.1引言 如3.6节所述,通过谱分解可将两块问题和四块问题化为等价的一块问题。而一块问题,作为 Hankel 范数模型逼近问题的一个特例,已在前一章得到彻底解决。这样,四块问题也已解决。但是,由定理315 可以看出,与四块问题等价的一块问题,其形式相当复杂。这样,不易与最初的咒。控制问题联系起来 本章的目的是直接给出四块问题的解。如果把化四块问题为一块问题看作“压缩”的方法,则本章使用的 是一种“扩张( dilation)”的方法。将问题进行压缩,需要四次谱分解,四次求谱因子的逆,并需计算串 联系统的状态空间表达式。而对问题进行扩张时,则只需对原系统进行适当的增广 52矩阵扩张问题的解 考虑(35)定义的矩阵扩张问题。其次优问题为寻找Q,使 12 R21 R 式中R1∈CPxm,R12∈CP1xm2,B21∈CPxm1,R22∈Cxm2均为常矩阵。u→∞时的四块问题就是 一个矩阵扩张问题。记 R1 R1 R 则次优问题等价于‖R-川<y.这可以看做是一块问题,只不过对Q的结构做了限制而已。仿照一块问 题的解法,定义增广矩阵Ra R11R1 R21 R 0000 R 0 00 其(1,2)块为(p1+p2)×(p1+p2)零矩阵,(2,1)块为(m1+m2)×(m1+m2)零矩阵 (5.3) Qazi Q 其中 223Q Q31Q32 QQQ0 333 O 若能找到Qa,使误差系统 Ea= Ra-Qa (5.5) 满足 EREa=y-I￾✂✁✂✄✆☎✂✝✂✞✂✟✂✠✂✡ ☛✌☞✎✍ ✏✒✑✔✓ ✕✗✖ ✘ ✙✛✚✢✜✢✣✢✤✦✥✢✧✢★✢✩✢✪✢✫✢✬✮✭✢✯✮✰✢✱✢✲✮✳✢✯✮✰✢✱✢✴✮✵✢✶✮✷✢✸✢✹✮✯✢✰✮✱✢✺✦✻✢✹✢✯✮✰✢✱✮✤✦✼✢✵✗✽✿✾❀❁❂ ❃ ❄✢❅✢❆✢❇✢❈✢❉✢✰✢✱✮✸✢✹✮❊✢❋✮●✢✤■❍✢❏✢❑✮✹✢▲✮▼✢◆✮❖✢P✮✪✢◗✮✺❙❘✮❚✢✤■✳✢✯✮✰✢✱✢❯✮❍✢✪✮◗✢✺■❱✢❲✮✤❙❳✮❨✢❩❬✖ ✘ ❭ ❪ ✫✢❫❵❴✢❛✢✤✦❜✢✳✢✯✢✰✢✱✢✶✢✷✮✸✢✹✮✯✢✰✢✱✮✤✦❝✢❞✮❡✢❢✢❣✮❤✢✐✢✺❙❘✢❚✢✤✦❥✢❦✮❜✢❧✮♠✢✸♦♥✦♣✔q✢r✢✰✢✱✢s✢t✢✉✢✈✢✺ ✇✢▲✢✸②①③✸✢❲✢④✢⑤✮⑥✢❛✢✳✮✯✢✰✮✱✢✸✮✪✢✺❙✕✮⑦❵⑧✢✴✮✳✢✯✮✰✢✱✢✵✮✹✢✯✮✰✢✱✮❴✢✼⑩⑨❶✢❷✮❸❙✸✢❹✮❺✢✤❙❻✮✇✢▲✢❼✮❽✢✸ ❲✮✹✮❾❿⑨➀✮➁➃➂ ➄➅ ❃✾➆ ➅➇❀➉➈➊❸❵✸✮❹✮❺✮✺❵✬✮✰✮✱✮➋✮➌✮❶✮❷✮✤❵➍✮➎✮✳✮➏✮★✮✩✮✪✢✤❵✳✮➏✮➐✮★✢➑✮➒✮✸✮➓✢✤❵➔✮➍✮→✮➣✢↔ s✢t✢↕✢✸✢➙✢➛✢➜✮➝✢➞✮➟✮❡✢✺❵✻✮➠✢✰✮✱✮➋✢➌✮➀✢➁✮➡✢✤❵❻✮➢✮➍✢➠✮➤✢t✮↕✢➋✮➌✢➥✮❣✮✸✢➦✮➧✢✺ ☛✌☞✎✍ ➨➫➩✔➭➲➯✔➳✔➵➺➸➺➻➺➼ ➽✢➾➚➂ ✖ ✘ ❪ ➈➪❨✢➶✢✸✢➹✢➘✢➀✢➁✮✰✢✱✮✺❵❝✢➏✮➴✮✰✢✱✮✵✢➷✮➬➱➮✃❒❐ ❼ ❮ ❮ ❮ ❮ ❮ ❰ÐÏÒÑ ÑÓÏÒÑ Ô ÏÕÔ Ñ➚ÏÕÔ Ô➪Ö ✃②× ➮ ❮ ❮ ❮ ❮ ❮✛Ø❵Ù❒Ú ➂ ❪ ✘ ❭ ➈ ❡✢Û ÏÒÑ Ñ✿Ü✦ÝÞ ß à á✛ß ❐ ÏÒÑ Ô✿Ü✦ÝÞ ß à á✿â ❐ ÏÕÔ Ñ✎Ü✦ÝÞ â à á✛ß ❐ ÏÕÔ Ô✿Ü✦ÝÞ â à á✿â✛ã✵✢äå➹✢➘å✺åæèçêéê➡✢✸✢✳✢✯✢✰✢✱✮ë✢❲ ✹✢❊✢➹✢➘✢➀✢➁✢✰✮✱✢✺èì Ï✮í ❰ÐÏÒÑ Ñ➃ÏÒÑ Ô ÏÕÔ Ñ➃ÏÕÔ Ô ×❵î ✃ í ❰Ðïðï ï ✃ñ×❵î ➮ ➂ ❪ ✘ ò ➈ ❻✢➏✢➴✢✰✢✱✢✶✢✷✢ó➃ô Ï✮Ö ✃ ô Ø❵Ù ✘➪❘✢✫✢❫✢❴✢õ✢❲✢✹✢✯✮✰✢✱✢✤ö➢✢❥✢✧✮➠ ✃ ✸✢÷✢ø✢õ✢ù✢ú✢r✮✻✢❍✮✺■û✢ü✢✹✮✯✢✰ ✱✢✸✢✪✢❺✢✤❵❨✢➶✢➦✮➧å➹✮➘Ï✛ý Ï✛ýÕíåþÿ ÿ ÿ ÿ￾ ÏÒÑ Ñ➚ÏÒÑ Ô➃ï⑩ï ÏÕÔ Ñ➚ÏÕÔ Ô➃ï⑩ï ï ï ï⑩ï ï ï ï⑩ï ✁✂ ✂ ✂ ✂ ✄ í ❰ÐÏ ï ïðï ×❵î ❝➚➂ ❭ î ò ➈ ✯✢✵➚➂☎Ñ✝✆ ☎Ô ➈✟✞❙➂☎Ñ✝✆ ☎Ô ➈✡✠å➹✢➘å✤➚➂ ò î ❭ ➈➪✯✢✵➚➂☛Ñ✡✆ ☛Ô ➈☞✞■➂☛Ñ✝✆ ☛Ô ➈✡✠å➹✢➘å✤ ✃ýÕí ❰ ✃ý Ñ Ñ ✃ý Ñ Ô ✃ý Ô Ñ ✃ý Ô Ô ×❵î ➂ ❪ ✘ ✖ ➈ ❝✢Û ✃ý Ñ Ñ✎í ❰Ðï ï ï ✃ Ô Ô ×❵î ✃ý Ñ Ô✎í ❰ ✃ Ñ ✌ ✃ Ñ ✍ ✃ Ô ✌ ✃ Ô ✍ ×❵î ✃ý Ô Ñ✎í ❰ ✃✌ Ñ ✃✌ Ô ✃✍ Ñ ✃✍ Ô ×❵î ✃ý Ô Ô✎í ❰ ✃✌ ✌ ✃✌ ✍ ✃✍ ✌ ✃✍ ✍ × Ú ➂ ❪ ✘ ✎ ➈ ✏✒✑è➬✢◆ ✃ý ❐ ❼✔✓✔✕✢t✢↕ ✖ýÕí✮Ï✛ý✛Ö ✃ýÒíåþÿ ÿ ÿ ÿ￾ ÏÒÑ Ñ ÏÒÑ Ô Ö ✃ Ñ ✌⑩Ö ✃ Ñ ✍ ÏÕÔ Ñ ÏÕÔ Ô➪Ö ✃ Ô Ô Ö ✃ Ô ✌⑩Ö ✃ Ô ✍ Ö ✃✌ Ñ Ö ✃✌ Ô Ö ✃✌ ✌⑩Ö ✃✌ ✍ Ö ✃✍ Ñ Ö ✃✍ Ô Ö ✃✍ ✌⑩Ö ✃✍ ✍ ✁✂ ✂ ✂ ✂ ✄ ➂ ❪ ✘ ❪ ➈ ✗✒✘ ✖✚✙ý ✖ýÕí Ù Ô ✛ î ➂ ❪ ✘ ✙ ➈ ✜ ❭