842函数级数 函数级数的收敛性设uk(2)(k=1,2,…)在区域G中有定义.如果对于G中一点20,级 数∑uk(20)收敛,则称级数∑uk(x)在z点收敛. 反之,如果∑υk(∞0)发散,则称级数∑vk(z)在z0点发散 如果级数∑wk(2)在区域G内每一点都收敛,则称级数在G内收敛.其和函数S(2)是G内 的单值函数 函数级数的一致收敛性如果对于任意给定的E>0,存在一个与z无关的N(=),使当n>N(e) 时,s(2)-a(2)<,则称级数∑u()在G内一致收敛 函数级数一致收敛的判别法(1)直接运用定义,(2) Weierstrass HJ M判别法 weierstrass B A判别法:若在区域G内luk(2)<ak,ak与z无关,而∑ak收敛,则∑uk(z) k=1 在G内绝对而且一致收敛 致收敛级数具有下列重要性质 1.连续性如果uk(2)在G内连续,级数∑uk(2)在G内一致收敛,则其和函数S(z)=∑uk(2) 也在G内连续 这个性质告诉我们,如果级数的每一项都是连续函数,则一致收敛级数可以逐项求极限(或者 说,“求极限”与“求级数和”可以交换次序) alk 2.逐项求积分设C是区域G内的一条分段光滑曲线,如果uk(z)(k=1,2,…)是C上的连 续函数,则对于C上一致收敛的级数∑uk(2)可以逐项求积分 k=1 3逐项求导数( Weierstrass定理)设uk(2)(k=1,2,…)在7中单值解析、飞()在石中 致收敛,则此级数之和∫(2)是G内的解析函数,f(z)的各阶导数可以由∑uk(2)逐项求导数§4.2 ✧ ✝ ✆ ✝ ✞ 4 ✟ §4.2 ★ ❅ ❆ ❅ ✩❴❵❴❛❜❝û ✪ uk(z) (k = 1, 2, · · ·) ➌✫✬ G ✥ ✙③④✫❣❤➟❳ G ✥❘✭ z0 ✔❋ ❊ P∞ k=1 uk(z0) ♥♦✔ ◗♣❋❊ P∞ k=1 uk(z) ➌ z0 ✭♥♦✫ ❩❬✔❣❤ P∞ k=1 vk(z0) ✉✈✔ ◗♣❋❊ P∞ k=1 vk(z) ➌ z0 ✭ ✉✈✫ ❣❤❋❊ P∞ k=1 uk(z) ➌✫✬ G ✮✂❘✭ ✣♥♦✔ ◗♣❋❊➌ G ✮♥♦✫✡ ❑✯ ❊ S(z) t G ✮ ❍✰ ✒ ✯ ❊✫ ✩❴❵❴❛✱✲❜❝û ❣❤➟❳✏ ☛✳③❍ ε > 0, ➲➌❘❙P z ➳➵❍ N(ε), ✴ ➺ n > N(ε) ➻✔    S(z) − Pn k=1 uk(z)    < ε ✔ ◗♣❋❊ P∞ k=1 uk(z) ➌ G ✮❘✵♥♦✫ ✩❴❵❴✱✲❜❝❛➦➧➨ (1) ✶✷✸①③④✔ (2) Weierstrass ❍ M ➡◆➢✫ Weierstrass ❍ M ➡◆➢✽ ➩➌✫✬ G ✮ |uk(z)| < ak ✔ ak P z ➳➵✔➫ P∞ k=1 ak ♥♦✔ ◗ P∞ k=1 uk(z) ➌ G ✮➞➟➫✤❘✵♥♦✫ ✱✲❜❝❵❴✹✺✻✼✽✾ûü✽ 1. ✿❀û ❣❤ uk(z) ➌ G ✮ ❁❂✔❋❊ P∞ k=1 uk(z) ➌ G ✮❘✵♥♦✔ ◗ ✡ ❑✯ ❊ S(z) = P∞ k=1 uk(z) ❃ ➌ G ✮ ❁❂✫ ✆❙✇❄❅❆❇❈✔❣❤❋❊❍ ✂❘↔ ✣t ❁❂✯ ❊✔ ◗❘✵♥♦❋❊❸❹❉↔ ➐qr (✦❊ ❋✔ ● ➐qr❍P ● ➐ ❋❊❑❍ ❸❹■ ý➑❧) ✔ limz→z0 X∞ k=1 uk(z) = X∞ k=1 limz→z0 uk(z). 2. ❏❑▲▼◆ ✪ C t✫✬ G ✮❍❘ ❶▼❖P◗ ❘❙✔❣❤ uk(z) (k = 1, 2, · · ·) t C ❚❍ ❁ ❂ ✯ ❊✔ ◗➟❳ C ❚❘✵♥♦❍ ❋❊ P∞ k=1 uk(z) ❸❹❉↔ ➐☎ ▼ Z C X∞ k=1 uk(z)dz = X∞ k=1 Z C uk(z)dz. 3. ❏❑▲❯❴ (Weierstrass ❇❱ ) ✪ uk(z) (k = 1, 2, · · ·) ➌ G ✥ ✰ ✒❲❳✔ P∞ k=1 uk(z) ➌ G ✥ ❘✵♥♦✔ ◗⑥❋❊❬ ❑ f(z) t G ✮❍ ❲❳✯ ❊✔ f(z) ❍❨❩❬❊❸❹ ❭ P∞ k=1 uk(z) ❉↔ ➐❬ ❊