2002-2003学年第一学期概率论与数理统计(B)期末考试试卷答案 五。(本题满分10分) 设随机变量X与Y相互独立,且都服从标准正态分布N(O,1).令随机变量 Z=√X2+Y )试求随机变量Z的密度函数f2().(2)试求E(Z) 解 (1)由题意,得 h(x)=1 ∞<x<∞) √2丌 f,()= (-∞<y<∞) 设随机变量Z=√X2+y2的分布函数为F2(=),则 F()=Px4=P1x2+y2≤ 当:≤0时,F()=PNx2+y2+=P()=0 当z>0时,F2()=PNx2+y2≤=fx(x)1() dxdy 作极坐标变换x=rcos,y=rsnb,则有 所、1号 :2 2 rdr =>0 所以,随机变量Z=√X2+Y2的分布函数为F(=)= 所以,随机变量Z=√X2+y2的密度函数为f2()=F()={=e2=>0 0 <0 E()=(k=了=止==x+了 第6页共9页2002-2003 学年第一学期概率论与数理统计（B）期末考试试卷答案 第 6 页 共 9 页 五．（本题满分 10 分） 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且都服从标准正态分布 N(0, 1) ．令随机变量 2 2 Z = X + Y ． ⑴ 试求随机变量 Z 的密度函数 f (z) Z ．⑵ 试求 E(Z)． 解： ⑴ 由题意，得 ( ) 2 2 2 1 x X f x e − =  (−   x  )， ( ) 2 2 2 1 y y f y e − =  (−   y  )． 设随机变量 2 2 Z = X + Y 的分布函数为 F (z) Z ，则 FZ (z) = PZ  z= P X +Y  z 2 2 当 z  0 时， ( )   ( ) 0 2 2 FZ z = P X +Y  z = P  = ； 当 z  0 时， ( )   ( ) ( )  +  = +  = x y z FZ z P X Y z f X x f Y y dxdy 2 2 2 2  +  + − = x y z x y e dxdy 2 2 2 2 2 2 1  作极坐标变换 x = r cos, y = rsin  ，则有 ( )    − − = = z r z r Z F z d e rdr e rdr 0 2 0 2 2 0 2 2 2 1    所以，随机变量 2 2 Z = X + Y 的分布函数为 ( )        =  − 0 0 0 0 2 2 z e rdr z F z z r Z 所以，随机变量 2 2 Z = X + Y 的密度函数为 ( ) ( )      =  =  − 0 0 0 2 2 z ze z f z F z z Z Z ⑵ ( ) ( )    + − + − + − + − = = = − + 0 2 0 2 0 2 2 2 2 2 E Z zf z dz z e dz ze e dz z z z z