准则工单调有界数列必有极限. 准则IⅡ的几何解释： 以单调增加数列为例，数列的点只可能向右一个方向移动，或者无限向右移动，或者无限龙 近于某一定点A,而对有界数列只可能后者情况发生. 准则I'设函数∫(x)在点x,的某个左邻域内单调并且有界，则f(x)在x的左极限 f(x)必定存在。 注：如果xn≤x1,n∈N,就称数列{xn}是单调增加的：如果x,≥x,n∈N,就称数 列{x}是单调减少的。单调增加和单调减少数列统称为单调数列。 第二个重要极限 m+分=e或m1+=e 其中e是个无理数，它的值是 e=2718281828459045. 变形形式： lim(1+a)=e 例7求m0-子y 解令u=-乏当x→0时，u0 ml-3=m+>=m+r=e2 例8求1m1+2x. 解令1=2x,则上=2.当x→0时，私→0. x lim(1+2x)=[lim(1+)=e2 小结与思考： 本节讲述了两个极限的收敛准则，两个重要极限及利用两个重要极限求限的方法。 1.求lim coscos京cos克： 2.设有k个正数a,4,.,4,令a=max{a,4,a 求m匠+G+.+d(“大数优先”准则). 解：a=d≤G+g5++dG≤+d++d=d=Ra 准则 II 单调有界数列必有极限 准则 II 的几何解释: 以单调增加数列为例 数列的点只可能向右一个方向移动 或者无限向右移动 或者无限趋 近于某一定点 A  而对有界数列只可能后者情况发生． 准则 II 设函数 f x( ) 在点 0 x 的某个左邻域内单调并且有界，则 f x( ) 在 0 x 的左极限 0 f x( ) − 必定存在。 注：如果 1 , n n x x n N+   + ，就称数列 xn 是单调增加的；如果 1 , n n x x n N+   + ，就称数 列 xn 是单调减少的 单调增加和单调减少数列统称为单调数列． 第二个重要极限 1 lim(1 )n n e → n + = 或 1 lim(1 )x x e → x + = 其中 e 是个无理数 它的值是 e = 2 718281828459045  变形形式： 1 0 lim(1 ) e    → + = 例 7 求 2 lim(1 ) . x x x − → − 解 令 2 x u = − .当 x → 时, u →. 2 1 1 2 2 2 lim(1 ) lim(1 ) [lim(1 ) ] . x u u x u u e x u u − → → → − = + = + = 例 8 求 1 0 lim(1 2 ) . x x x → + 解 令 u x = 2 ，则 1 2 x u = .当 x →0 时, u →0 . 1 1 2 2 0 0 lim(1 2 ) [lim(1 ) ] . x u x u x u e → → + = + = 小结与思考： 本节讲述了两个极限的收敛准则，两个重要极限及利用两个重要极限求限的方法． 1．求 2 lim cos cos cos 2 2 2n n x x x → ； 解：原极限= sin sin lim lim 1( 0) 2 sin 2 n n n n x x x → → x x = =  ． 2．设有 k 个正数 1 2 , , , k a a a ，令 a a a a = max , , ,  1 2 k， 求 1 2 lim n n n n k n a a a → + + + （“大数优先”准则）． 解： 1 2 n n n n n n n n n n n n n k a a a a a a a a ka ka =  + + +  + + + = =