92 高等数学重点难点100讲 第29讲微分在近似计算中的应用 微分定义的直接应用有两个:-是求函数的近似值,另一是估计误差,这一讲只讨论利 用微分求函数近似值的基本方法 设函数y=f(x),当自变量x在x处获得一增量Δx=x-x时,y也获得相应增量, △y=f(xo+△x)-f(x。),△y一般是4x的很复杂的函数,这就为计算y带来了一定困难 于是,希望以△x的一次齐次函数AAx(A与△x无关)来代替△y,从而使对△y的计算得以 简化: f(x+△x)-f(xo)≈A△ 同时,又要使产生的误差Δy-AΔx与函数增量y相比之下可以忽略不计.即 △y A△x 0,从而有lim △r-0 y △x f(xo)-A 当f(x)≠0时,由极限运算法则得f(x)=0,即A=f(x,) 于是得出求函数增量的近似值的基本公式 4y≈dy=f”(x。)4x(f(x)≠0,|△x很小时) (29.1) 及求函数在某点的近似值的基本公式 f(x。)+f(x。)x, 或f(x)≈f(x0)+f(x)(x-x)(f(x)≠0,x-x很小时) (29.2) 上述近似等式的左端是曲线y=f(x),右端是直线y= f(x0)+f(x)(x-x)(即f(x)在(x,f(x)点处的切线) 所以,上述近似代替的几何解释是:在x的局部范围(如图 29-1,x0的δ邻域(x-0,x+0)内以直线(即曲线在x0处的 =fx)+f(r… 切线)代替该曲线因此微分的基本思想是以直代曲 例1利用微分求下列近似值 (1)tan46°; (2)√100 O t 解(1)本题在于利用公式:f(x+4x)≈f( 图2 f(Io)4r. 关键是选好f(x),使∫(x)及∫(x。)能够便于计算 这里,选取f(x)=tanx,取xo=45=4,4x=1=180 易计算出f(x)=fx)=mnx=1,f(x)=(tanx)1-4= seca-=2 把这些数值代人公式得 tan46°≈1+2·10≈1+0.0349=1.0349 (2)解法1Ⅵ100=v64+36=41+ 9 选取∫(x)= ,x=1,4x=16,易得f(1)=1,f(1)=3由公式得