第29讲微分在近似计算中的应用 93 -4+是≈(+)4=41+3× 4.750 解法2y100=y125-25= 选取f(x)=yx,x0=1,4x ,由公式得 051-}~/)+r(41=6(1-1+408 而100的前5位精确数值为4.6416 由解法1产生的误差为|4.6416-47500=0.1084; 由解法2产生的误差为|46416-4.66671=0.0251 (解法2为什么比解法1更为理想?请读者思考.) 小结由例1知用微分法做近似计算的原则是:①选函数f(x),使f(x),f(x)易算 ②使|4x|<1,且尽可能地小 例2试计算√(2037)的近似值 2 解设 4r f'(x (x2+1) x2+1 由f(x+4x)≈f(x0)+f(x)4x,又设x。=2,山x=0.037 (2.037)2-1 √(2.037)2+1=f(2+0.037) 2 0.037 N5+、3·25·0.037=0.7746-4×0. 0.7746 0.7746+0.0076=0.7822 在基本公式∫(x)≈f(x0)+(x)(x-x)中令x=0,便得求函数近似值的常用公 式 f(x)≈f(0)+f(0)x(|x|很小时) (29.3) 由(29.3)式,当分别取∫(x)=e,ln(1+x),(1+x)°,sinx,tanx, arcsin.r, arctan.l,cosx 可相应地得下列重要的近似计算公式: (1)e≈1+x;(2)ln(1+x)≈x;(3)(1+x)°≈1+ax;(4)sinx≈x; (5)tanx≈x;(6) arcsinx≈x;(7) arctanx≈x;(8)cosx≈1-2(当x很小时 (这些公式的证明留给读者.)