注严格说来,由于极坐标变换在原点与正实轴上不是一对一的 在应用变量代换公式时,应该去掉原点与正实轴,也就是说,应该用 以下方法来计算(积分区域如图13.3.5): sin(π√x2+y2drdy=li i(√x2+y2)dxdy=lin (Sinπr) )rdrd6 E→0 E→0 E≤x+y≤1 2π-E sln丌r lin de sin(ar)rdr= lim(2T-28) Os优r 2 x o c 图13.3.5注 严格说来，由于极坐标变换在原点与正实轴上不是一对一的。 在应用变量代换公式时，应该去掉原点与正实轴，也就是说，应该用 以下方法来计算（积分区域如图 13.3.5）： 2 2 2 2 2 2 0 0 1 1 2π 2π sin(π )d d lim sin(π )d d lim (sin π )dd x y r x y xy x y xy rrr ε ε ε ε εθ ε εθ ε θ → → ≤+≤ ≤ ≤ ≤≤ − ≤≤ − += += ∫∫ ∫∫ ∫∫ D 1 2π 1 2 0 0 sin π lim d sin(π ) d lim(2π 2 ) cos π 2 . π π r r rrr r ε ε ε ε ε ε θ ε − → → ⎡ ⎤ = = − − + = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∫ ∫ θ y 2π − ε x ε O ε 1 r 图 13.3.5