极坐标变换 x=rcos 0 y=rain 0<b<2,0≤r<+0 是我们十分熟悉的。除原点与正实轴外,它是一一对应的,这时 a(x, y)cose -sino a(r, 0) sin e rcos e 例13.3.3计算jsm(xx+y)dy,其中D=x,y)x2+y25y 解引入极坐标变换x=rcosθ,y=rsinθ,那么D对应于区域 D={(r,0)0≤r≤1,0≤6≤2π}。因此 sin(vx+y )dxdy=l(sin r /r drdo=(sin tr)drdo 0(r,6) del sin(tr)rdr=2极坐标变换 xr yr = = ≤ ≤ ≤ <+ cos , sin , 0 2 θ θ θ π, 0 r ∞ 是我们十分熟悉的。除原点与正实轴外，它是一一对应的，这时 r r r r yx = − = ∂ ∂ θθ θθ θ sin cos cos sin ),( ),( 。 例 13.3.3 计算 2 2 sin(π x y xy + )d d ∫∫ D ，其中 2 2 D = {( , ) | 1} xy x y + ≤ 。 解 引入极坐标变换 xr yr = cos , sin θ = θ ，那么 D 对应于区域 ˆ D = ≤≤ ≤≤ {( , ) |0 1, 0 2 r r θ θ π }。因此 2 2 ˆ ˆ 2π 1 0 0 (, ) sin(π )d d (sin π ) d d (sin π )dd (, ) d sin(π )d 2 x y x y xy r r rrr r rrr θ θ θ θ ∂ + = = ∂ = = ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫ 。 D D D