《数学分析》教案 第七章实数的完备性 海南大学数学系 lan-anl=an-an280 依次取 2M1-1,31>M,使a1-a1280; N2=1,3N2>2N2,使42-am1280; N=#k1,3n〉Nk,使ak-am280. 把它们相加，得到 awe-a1之k80 k)M-a 故当 0时，可使“：>M,矛盾。所以单调有界数列o,)必定有极限。【证毕】 例1用单调有界定理证明区间套定理. 即已知：1)单调有界定理成立： 2)设{ab.]}为一区间套. 欲证：eab小n=l,2.且惟一 证证明思想：构造一个单调有界数列，使其极限即为所求的5， 为此，可就近取数列{a,}(或，).由于 a≤as.≤an≤.sbn≤.sb2≤h, 因此{a,为递增数列，且有上界（例如4）.由单调有界定理存在血a,=5,且a,≤5，n=l,2,. 又因b.=(6。-a,)+a,而m(6,-a,）=0故 imb,=lim(b。-an)+ma。=0+5=ξ】 且因{b,递减必使，25.这就证得5∈[a,b,小n=l,2, 最后，用反证法证明如此的5惟一.事实上，倘若另有一个'[a,b.小n=1,2,.,则由 |5-ξ'|≤(bn-an)→0(n→∞) 导致与5->0相矛盾。 例2(10)用区间套定理证明单调有界定理. 即己知：1)区间套定理成立. 《数学分析》教案 第七章 实数的完备性 海南大学数学系 11 ． 依次取 把它们相加,得到 ． 故当 时,可使 ,矛盾．所以单调有界数列 必定有极限． [ 证毕 ] 例 1 用单调有界定理证明区间套定理． 即已知： 1 ） 单调有界定理成立； 2 ）设 an ,bn  为一区间套． 欲证： a ,b , n =1 , 2,  , n n 且惟一． 证 证明思想：构造一个单调有界数列,使其极限即为所求的  ． 为此,可就近取数列 an  （或 bn  ）．由于 , a1  a2  an  bn  b2  b1 因此  an  为递增数列,且有上界（例如 1 b ）．由单调有界定理,存在 =  → n n lim a ,且 an  , n =1, 2, ． 又因 bn = bn − an + an ( ) ,而 lim ( − ) = 0 → n n n b a ,故 = − + = +  =  → → → lim lim ( ) lim n 0 n n n n n n b b a a ； 且因  bn  递减,必使   bn ．这就证得 an , bn , n =1, 2 , ． 最后,用反证法证明如此的  惟一．事实上,倘若另有一个  an , bn , n =1, 2, ,则由  −   ( b − a ) → 0 (n → ) n n , 导致与  −   0 相矛盾． 例 2 （10） 用区间套定理证明单调有界定理． 即已知： 1 ） 区间套定理成立．