《数学分析》教案 第七章实数的完备性 海南大学数学系 于是当n2K(同时有：2k)K)时，就有 la,-ale川a小水字 证“曰”a,}收敛，则存在极限，设a,=a,则G>0,3V,当n>N时有 la,-ak/2-当n,m>N时有la,-a.a-a+la,-ak6 “←”先证有界性，取6=1，则3W,nm>N→a,-amK1 特别地，n>N时|a。-awK1→anai+1 设M=m,laal+,则n,la,M 再由致密性定理知，a,有收敛子列a,设血a,=a e>0,3N,nm>N1→la。-anke/2 aK,k>Kla -aks/2 取N=maNK,N),当n>N时有w12N+l>N ld-aka,-aml+ld-ak6/2+612=6 故ma,=a Cachy列、基本列（满足Cauchy收敛准则的数列） *(七)用柯西准则证明单调有界原理 设(a,)为一递增且有上界y的数列.用反证法（借助柯西准则）可以证明：俏若(a,}无 极限，则可找到一个子列以+0为广义极限，从而与a,}有上界相矛盾.现在来构造这样 的) 对于单调数列a,),柯西条件可改述为：“8>0，WeN,当>N时，满足 口。aw<8”.这是因为它同时保证了对一切#>册>W,恒有 amam|≤lan-an<g 倘若(a,)不收敛，由上述柯西条件的否定陈述：月0>0，对一切NN,3>N,使《数学分析》教案 第七章 实数的完备性 海南大学数学系 10 于是当 （同时有 ）时,就有 ． 证 “” { }n a 收敛,则存在极限,设 an a n = → lim ,则   0,N ,当 n  N 时有 | an − a |  / 2  当 n,m  N 时有 | a − a || a − a | + | a − a |  n m m n “ ”先证有界性,取  =1,则 N , n,m  N  | an − am | 1 特别地, n  N 时 | an − aN+1 |1  | an || aN+1 | +1 设 max{| |,| |, ,| |,| | 1} M = a1 a2  aN aN+1 + ,则 n , | an | M 再由致密性定理知, { }n a 有收敛子列 { } nk a ,设 a a nk k = → lim   0, N1 , 1 n, m  N  | | / 2 n m a a −   K , k  K  | a − a |  / 2 nk 取 max( , ) N = K N1 ,当 n  N 时有 1 1 N n N N +  +   −  − + −   +  =  + + | | | | | | / 2 / 2 1 1 a a a a a a n n nN nN 故 an a k = → lim . Cauchy 列、基本列（满足 Cauchy 收敛准则的数列） *(七) 用柯西准则证明单调有界原理 设 为一递增且有上界 M 的数列．用反证法（ 借助柯西准则 ）可以证明：倘若 无 极限,则可找到一个子列 以 为广义极限,从而与 有上界相矛盾．现在来构造这样 的 ． 对于单调数列 ,柯西条件可改述为：“ 当 时,满足 ”．这是因为它同时保证了对一切 ,恒有 ． 倘若 不收敛,由上述柯西条件的否定陈述： ,对一切 , ,使