《数学分析》教案 第七章实数的完备性 海南大学数学系 证明设05么56，用中点9=生 2将，月-分为二，则两个子区间血，和小中至少 有-个含有中无穷多项选出来记为4,1，在其种运一厦用中9品兰将k,】 一分为二，则两个子区间血，9]和，4]中至少有一个含有，}中无穷多项，选出来记为4,6】， 在其中选一项，使得%>川，.最后得一区间套血，6】，满足 [abJ[a.6] xn∈ae,b],nk1>n4 由区间套定理，ma=如6=C,又由于a≤x≤6，有如=C *(六)用聚点定理证明柯西准则 必要性：已知a收敛，设职aa.由定义Ye>03NeN,当mn>N时，有 a.a水2laa水 从而有 la-aslam-al+la,-a<s 充分性：已知条件：V>03NeN,当m网>N时aa,K.欲证{a,收敛 r.首先证(a,]有界.对于-13eN当”2从，m-从时，有 la,I-lax lslax-a,<1la,Islaw |+1 令M-maxa川马l.egax+则有 |aw|≤M,n-1,2,. 2.由致密性定理，{a:]存在收敛子列a,设职aa 了.最后证职a,“,由条件，Y>0,3X(2N以当kmm≥时，有 1a水营-a水f 《数学分析》教案 第七章 实数的完备性 海南大学数学系 9 证明 设 a  xn  b ,用中点 2 1 a b c + = 将 a,b 一分为二,则两个子区间  1 a, c 和 c ,b 1 中至少 有一个含有 { }n x 中无穷多项,选出来记为   1 1 a ,b ,在其中选一项 n1 x .用中点 2 1 1 2 a b c + = 将   1 1 a ,b 一分为二,则两个子区间   1 2 a , c 和   2 1 c ,b 中至少有一个含有 { }n x 中无穷多项,选出来记为   2 2 a ,b , 在其中选一项 n2 x ,使得 n2  n1 , .最后得一区间套   ak bk , ,满足     ak bk ak bk , , +1 +1  , k k k b a b a 2 − − = ,   n ak bk nk nk x k  , , +1  . 由区间套定理, a b c k k k k = = → → lim lim ,又由于 k n bk a x k   ,有 x c nk k = → lim . *(六) 用聚点定理证明柯西准则 必要性: 已知 收敛,设 ．由定义, ,当 时,有 ． 从而有 ． 充分性: 已知条件： 当 时 ．欲证 收敛． ．首先证 有界．对于 当 时,有 令 ,则有 ． ．由致密性定理, 存在收敛子列 ,设 ． ．最后证 ,由条件, 当 时,有 ．