《数学分析》教案 第七章实数的完备性 海南大学数学系 子列a的极限称为原数列(a,}的一个极限点，或称聚点 注数列(a:J的聚点与一般点集S的聚点，含义稍有不同.数列的聚点定义为： “6>0,在认片内含有a)中无限多个项，则为a)的一个聚点.”在此意义下， 对于数列 a1分1京5京.1 它有两个收数子列：41和受，-12.它们的模限有-1和奇-0我是6的 两个聚点. 证a,有界，则存在数，片使得≤a,≤乃对m成立 新川三等粉为6学，川则英中整有-个省行数到以指无资李原 记为丙1，再指丙1二等分为，.卢”川，同群其中至少有一个含有数列 2 2 a.的无穷多项，把它记为山，.一直进行这样的步骤，得到一闭区间套x.》,其中 每一个[x。y]中都含有数列a的无穷多项，且满足： )3,]x2,y]与.xy]2. ②m6-)=m2-产=0 则由闭区间套定理，5使得血a,=血6.=专 下证a,中必有一子列收敛于实数5 先在西]中选取a,}的某一项，记为a,因]中含有a,}中的无穷多项，可选取位于 a后的某一项，记为，%>川.继续上述步骤，选取∈[x,]后，因为小中含有无 穷多项，可选取位于a,后的某一项，记为且”1>m,这样我们就得到a,}的一个子列o,} 满足≤0≤4，k=12 由两边夹定理即得血0，“5、《数学分析》教案 第七章 实数的完备性 海南大学数学系 8 子列 的极限 称为原数列 的一个极限点,或称聚点 注 数列 的聚点与一般点集 的聚点,含义稍有不同．数列的聚点定义为： “ ,在 内含有 中无限多个项,则 为 的一个聚点．”在此意义下, 对于数列 它有两个收敛子列: 和 , ．它们的极限 和 就是 的 两个聚点． 证 { }n a 有界,则存在数 1 1 x , y 使得 1 1 x a y  n  对 n 成立. 将 [ , ] 1 1 x y 二等分为 ] 2 [ , 1 1 1 x y x + 、 , ] 2 [ 1 1 1 y x + y ,则其中必有一个含有数列 { }n a 的无穷多项, 记为 [ , ] 2 2 x y ；再将 [ , ] 2 2 x y 二等分为 ] 2 [ , 2 2 2 x y x + 、 , ] 2 [ 2 2 2 y x + y ,同样其中至少有一个含有数列 { }n a 的无穷多项,把它记为 [ , ] 3 3 x y ,.一直进行这样的步骤,得到一闭区间套 {[ , ]} n n x y ,其中 每一个 [ , ] n n x y 中都含有数列 { }n a 的无穷多项,且满足： ⑴ [ , ] 1 1 x y  [ , ] 2 2 x y    [ , ] n n x y  . ⑵ 1 1 1 lim( ) lim 0 2 n n n n n y x y x → → − − − = = 则由闭区间套定理,  使得 = → n n lim a = → n n lim b  下证 { }n a 中必有一子列收敛于实数  先在 [ , ] 1 1 x y 中选取 { }n a 的某一项,记为 n1 a ,因 [ , ] 2 2 x y 中含有 { }n a 中的无穷多项,可选取位于 n1 a 后的某一项,记为 n2 a , n2  n1 .继续上述步骤,选取 nk a [ , ] k k  x y 后,因为 [ , ] k+1 k+1 x y 中含有无 穷多项,可选取位于 nk a 后的某一项,记为 k 1 n a + 且 nk+1  nk ,这样我们就得到 { }n a 的一个子列 { } nk a 满足 k n k x a y k   , k = 1,2,  由两边夹定理即得 = → nk n lim a 