《数学分析》教案 第七章实数的完备性 海南大学数学系 说明当[a,b]改为(a,b)时，或者H不是开覆盖时，有限覆盖定理的结论不一定成立. 例如： H是开区间(0,1)的一个无限开覆盖，但不能由此产生(0,1)的有限覆盖 H是[0,2]的一个无限覆盖，但不是开覆盖，由此也无法产生0,2]的有限覆盖 *(五)用有限覆盖定理证明聚点定理 设8为实轴上的有界无限点集，并设8c[-M,M]. ”由反证法假设来构造[-M,M]的一个无限开覆盖：若8有聚点乌，则 [-M,M].现反设[-M,M]中任一点都不是S的聚点，即xeM,M)34>0在 U(x:)内至多只有x∈8.这样。 H-{Ux,&‖x∈【M,M]) 就是[-M,M]的一个无限开覆盖. 2”用有限覆盖定理导出矛盾：据定理9，存在 产={Ux:i=1,2.,N}cH. 户为[-M,M]的一个有限开覆盖（同时也覆盖了8），由假设，：4内至多只有 4∈8一产所属N个邻域内至多只有，.，w属于8（即产只覆盖了8中有限个点）.这 与产覆盖了全部S中无限多个点相矛盾. 所以，有界无限点集$必定至少有一个聚点。[证毕] 推论（致密性定理）有界数列必有收敛子列.即若(a,为有界数列，则a,c(a,)使 有 即4之 《数学分析》教案 第七章 实数的完备性 海南大学数学系 7 说明 当 改为 时,或者 不是开覆盖时,有限覆盖定理的结论不一定成立. 例如： 1) ． 是开区间 的一个无限开覆盖,但不能由此产生 的有限覆盖． 2) ． 是 的一个无限覆盖,但不是开覆盖,由此也无法产生 的有限覆盖． * (五) 用有限覆盖定理证明聚点定理 设 为实轴上的有界无限点集,并设 ． 由反证法假设来构造 的一个无限开覆盖：若 有聚点 ,则 ．现反设 中任一点都不是 的聚点,即 在 内至多只有 ．这样, 就是 的一个无限开覆盖． 用有限覆盖定理导出矛盾：据定理 9,存在 为 的一个有限开覆盖（同时也覆盖了 ）．由假设, 内至多只有 所属 个邻域内至多只有 属于 （即 只覆盖了 中有限个点）．这 与 覆盖了全部 中无限多个点相矛盾． 所以,有界无限点集 必定至少有一个聚点．［证毕］ 推论（致密性定理） 有界数列必有收敛子列．即若 为有界数列,则 使 有 ．