《数学分析》教案 第七章实数的完备性 海南大学数学系 将它们相加，得-名一，令k→m,得-5=-c- 所以 c=++2 (三)用区间套定理证明确界原理 证明思想：构造一个区间套，使其公共点即为数集的上确界. 设58，有上界以，取0e8令[o,1-0,92a1+,再 侣营是， 如此无限进行下去，得一区间套【a,bn}→3n∈[aa,b1,8=1,2. 可证9~卿心，因如恒为9的上界，且职b”,故红∈8，必有 x≤bn台x≤门 这说明7是的上界：又因职0”故Ve>0.30>18,而都不是的上界因此 ”8更不是8的上界.所以”=即8成立。【证毕] *(四)用区间套定理证明有限覆盖定理 设H为闭区间[a,b]的一个无限开覆盖.反证法假设： “[a,b]不能用：中有限个开区间来覆盖” 对a,b]采用逐次二等分法构造区间套(a,4]》,[a,6,]的选择法则：取“不能用H中 有限个开区间来覆盖”的那一半. 由区间套定理，3[4,4n-12,. 导出矛盾：“a,b](出列eH,使(a,小 记8=m(上化分-月〉0，由[推论]，当足够大时， [a.,b.]cU(点s)c(g8) 这表示[a,8]用H中一个开区间（出B)就能覆盖，与其选择法则相违背.所以[a,b]必能 用H中有限个开区间来覆盖. 6《数学分析》教案 第七章 实数的完备性 海南大学数学系 6 将它们相加,得 ( ) 2 1 2 1 1 x x x x k − = − k− − ,令 k →+,得 ( ) 2 1 2 1 c − x = − c − x 所以 ( 2 ) 3 1 3 2 3 1 c = x1 + x2 = a + b . (三) 用区间套定理证明确界原理 证明思想：构造一个区间套,使其公共点即为数集的上确界． 设 , 有上界 ．取 ； ,再令 如此无限进行下去,得一区间套 ． 可证 ：因 恒为 的上界,且 ,故 ,必有 , 这说明 是 的上界；又因 ,故 ,而 都不是 的上界,因此 更不是 的上界．所以 成立． ［ 证毕 ］ *(四) 用区间套定理证明有限覆盖定理 设 为闭区间 的一个无限开覆盖．反证法假设： “ 不能用 中有限个开区间来覆盖”． 对 采用逐次二等分法构造区间套 , 的选择法则：取“不能用 中 有限个开区间来覆盖”的那一半． 由区间套定理, ． 导出矛盾： 使 记 由［推论］,当 足够大时, 这表示 用 中一个开区间 就能覆盖,与其选择法则相违背．所以 必能 用 中有限个开区间来覆盖．