《数学分析》教案 第七章实数的完备性 海南大学数学系 例2序列x}由下列各式 =0.5=6,=a-34同 2 所确定（见下图）.证明极限血存在，并求此极限。 内巧4→x 证明当a=b时，。=0，故血，=a 当a≠b时，若取an=min),bn=max1,xn),(n=l,2,.) 则由条件，显然可得一串区间套： [a,b]c[a,b](n=12,.) 由已知条件 -+-,=-) 2 于是 6-a,xa-,上l-x上1x-x ==2是l-x卡21b-a0a→4m 由区间套定理，存在c满足：血a,=c-血6，注意到，e口，b】,所以m=c 下面来求.由或-令”=23k-1得一串等式 -名=-，-)， x-=-3-x) x-=-2-） 《数学分析》教案 第七章 实数的完备性 海南大学数学系 5 例2 序列 { }n x 由下列各式 x1 = a , x2 = b , 2 −1 + −2 = n n n x x x (n = 3，4，） 所确定（见下图）.证明极限 n n x →+ lim 存在,并求此极限. 1 x 3 x 5 x 4 x 2 x x 证明 当 a = b 时, xn = a ,故 xn a n = →+ lim . 当 a  b 时,若取 min( , ) n n 1 n a x x = + , max( , ) n n 1 n b x x = + , (n = 1，2，）. 则由条件,显然可得一串区间套： [ , ] [ , ] an+1 bn+1  an bn (n = 1，2，）. 由已知条件 ( ) 2 1 2 1 1 1 − − + − = − − + − = n n n n n n n x x x x x x x , 于是 | | 0 ( )， 2 1 | | 2 1 | | 2 1 | | 2 1 | | 1 2 1 1 1 1 2 1 2 = = − = − → → + − = − = − = − − − + − − − x x b a n b a x x x x x x n n n n n n n n n n  由区间套定理,存在 c 满足： n n n n a c b →+ →+ lim = = lim .注意到 [ , ] n an bn x  ,所以 x c n n = →+ lim . 下面来求 c .由 ( ) 2 1 n+1 − n = − n − n−1 x x x x ,令 n = 2，3，，k −1 得一串等式： ( ) 2 1 3 2 2 1 x − x = − x − x ； ( ) 2 1 4 3 3 2 x − x = − x − x ；  ( ) 2 1 k − k−1 = − k−1 − k−2 x x x x