《数学分析》教案 第七章实数的完备性 海南大学数学系 mxm=spx。(nfxa) (仁)用单调有界定理证明区间套定理 由假设(1)知，序列a,}单调上升，有上界6：序列b,}单调下降，有下界4.因而有 lman=c1mb,=c3an≤G≤c2≤bn 再由假设(2)知 lim (b-a)=c2-C=0 记9=G2=C.从而有 lim d =c=lim b 若还有c满足a,≤c≤b,令n→切，得c=c,故c是一切ab,小的唯一公共点.证毕， 这个定理称为区间套定理.关于定理的条件我们作两点说明： (1)要求[a,b,]是有界闭区间的这个条件是重要的.若区间是开的，则定理不一定成立， 如 a6,)=0, 显然有@，c0为，但iQ=4 如果开区间套是严格包含：a,<a1<b<b,这时定理的结论还是成立的， 2)若o.blCIo.b,1a=12.）,但m。-a,)0,此时仍有 皿a,=6,m6=6,但<6，于是对任意的c,S≤c≤C,都有ce0ab] 全序集中任一区间长趋于零的区间套有非空交集，则称该全序集是完备的，定理3刻划实 数集是完备的（这里完备定义与上段完备定义是等价的）.定理3也给出通过逐步缩小搜索范围， 找出所求点的一种方法. 推论设a点.]》为一区间套，e[a.4]-12,.则e>03NeN,当n>N时，恒 有 [a,b]cU(点 用区间套定理证明其他命题时，最后常会用到这个推论《数学分析》教案 第七章 实数的完备性 海南大学数学系 4 lim sup (inf ) n x N n x N n n x x x   →+ = . (二) 用单调有界定理证明区间套定理 由假设（1）知,序列 { }n a 单调上升,有上界 1 b ；序列 { }n b 单调下降,有下界 1 a .因而有 1 lim a c n n = →+ , 2 lim b c n n = →+ . n bn a  c1  c2  . 再由假设（2）知 lim ( − ) = 2 − 1 = 0 →+ b a c c n n n , 记 c = c = c 1 2 . 从而有 n n n n a c b →+ →+ lim = = lim . 若还有 * c 满足 n bn a  c  * ,令 n → +,得 c = c * .故 c 是一切 [ , ] an bn 的唯一公共点.证毕. 这个定理称为区间套定理.关于定理的条件我们作两点说明： （1） 要求 [ , ] an bn 是有界闭区间的这个条件是重要的.若区间是开的,则定理不一定成立. 如 ) 1 ( , ) (0, n an bn = . 显然有 ) 1 ) (0, 1 1 (0, n n  + , 但 =  + = ) 1 (0, n 1 n  . 如果开区间套是严格包含： an  an+1  bn+1  bn ,这时定理的结论还是成立的. (2)若 [ , ] [ , ] an+1 bn+1  an bn (n = 1，2，）,但 lim ( − )  0 →+ n n n b a ,此时仍有 1 lim a c n n = →+ , 2 lim b c n n = →+ ,但 1 2 c  c ,于是对任意的 c , 1 2 c  c  c ,都有 [ , ] 1 n n n c a b + =   . 全序集中任一区间长趋于零的区间套有非空交集,则称该全序集是完备的,定理 3 刻划实 数集是完备的（这里完备定义与上段完备定义是等价的）.定理 3 也给出通过逐步缩小搜索范围, 找出所求点的一种方法. 推论 设 为一区间套, ．则 当 时,恒 有 ． 用区间套定理证明其他命题时,最后常会用到这个推论．