《数学分析》教案 第七章实数的完备性 海南大学数学系 此得c≤b,所以c是上界中最小的，由上确界定义，c为集合E的上确界，记作c=spE 推论非空的有下界的集合必有下确界 事实上，设集合E=有下界b,则非空集合E=x-x∈B有上界-b,利用集合E'上确界 的存在性，即可得出集合￡的下确界存在 定理1解决了非空有上界集合的上确界存在性问题，我们可以利用上确界的存在性，得出我们 所研究的某一类量（如弧长）的存在性 若全序集中任一非空有上界的集合必有上确界，我们称该全序集是完备的定理1刻划了实数 集是完备的 例1证明实数空间满足阿基米德原理 证明∀b>a>0,要证存在自然数n使a>b.假设结论不成立，即 a≤b,(m=l,2.) 则数集E={na}有上界b,因此有上确界c,使na≤c(m=l,2,.),也就有 (n+I)a≤c(n=,2,.),或na≤c-a(m=l2,.).这表明c-a是集合E的上界与c是上确 界矛盾.所以总存在自然数n,使na>b 三、等价命题证明 下面来完成(1)(7)的证明. (一)用确界定理证明单调有界定理 设，单调上升，即名≤名≤名≤.≤x≤.有上界，即3M,使得≤M 考虑集合E=化，nEN,它非空，有界，定理2推出它有上确界，记为a=即我们验证 a=lim x 6>0,由上确界的性质，3N,使得a-8<xx,当n>N时，由序列单调上升得a-8<xw≤x。, 再由上确界定义，x≤a<a+6,有a-6<x,<a+,即k,-d<6,也就是说血x=a=即， 同理可证若伍，}单调下降，有下界，也存在极限且血。，=赋无 若集合E无上界，记作supE=+0:若集合E无下界，记作fE=+o,这样一来定理2证明了 的单调上升（下降)有上界（下界）的序列，}，必有极限即，矿）的定理现在有了严格的 理论基础了且对单调上升（下降）序列x},总有 《数学分析》教案 第七章 实数的完备性 海南大学数学系 3 此得 c  b ,所以 c 是上界中最小的,由上确界定义, c 为集合 E 的上确界,记作 c = sup E . 推论 非空的有下界的集合必有下确界. 事实上,设集合 E = {x} 有下界 b ,则非空集合 E' = {x | −x  E} 有上界−b ,利用集合 E' 上确界 的存在性,即可得出集合 E 的下确界存在. 定理 1 解决了非空有上界集合的上确界存在性问题,我们可以利用上确界的存在性,得出我们 所研究的某一类量（如弧长）的存在性. 若全序集中任一非空有上界的集合必有上确界,我们称该全序集是完备的.定理 1 刻划了实数 集是完备的. 例1 证明实数空间满足阿基米德原理. 证明 b  a  0,要证存在自然数 n 使 na  b .假设结论不成立,即 na  b, (n = 1，2，）, 则数集 E = {na} 有上界 b , 因此有上确界 c , 使 na  c (n = 1，2，）, 也就有 (n +1)a  c (n = 1，2，）,或 na  c − a (n = 1，2，）.这表明 c − a 是集合 E 的上界,与 c 是上确 界矛盾.所以总存在自然数 n ,使 na  b . 三、等价命题证明 下面来完成(1)～(7)的证明． (一) 用确界定理证明单调有界定理 设 { }n x 单调上升,即 x1  x2  x3  xn ,有上界,即  M ,使得 xn  M . 考虑集合 E {x | n N} = n  ,它非空,有界,定理 2 推出它有上确界,记为 n n N a x  = sup .我们验证 n n a x → = lim .    0 ,由上确界的性质,  N ,使得 N a −  x ,当 n  N 时,由序列单调上升得 N n a −  x  x , 再由上确界定义, x  a  a +  n ,有 a −  x  a +  n ,即 x − a   n ,也就是说 n n N n n x a x  → lim = = sup . 同理可证若 { }n x 单调下降,有下界,也存在极限,且 n n N n n x x →  lim = inf . 若集合 E 无上界,记作 sup E = + ；若集合 E 无下界,记作 inf E = + ,这样一来,定理 2 证明了 的单调上升（下降）有上界（下界）的序列 { }n x ,必有极限 sup (inf ) n x N n x N x x   的定理现在有了严格的 理论基础了.且对单调上升（下降）序列 { }n x ,总有