第六节高斯公式通量与散度 教学目的:理解和掌握高斯公式及应用,了解通量与散度的概念 教学重点:高斯公式 教学难点:高斯公式的应用 教学内容 Gauss公式 定理,设空间闭区域g是有分片光滑的闭曲面∑所围成的,函数F(xy,2),Q(x,y aP a0, aR 导数 Oxta+ a dvh. pdydz+@dzdx+Rdxdy A(pcos a+e cos B+RcosyXs Eu 其中∑是g的整个边界曲面的外侧,CSa,cosA,csy是∑ 向余弦,称之为高斯公式 证明:设Ω在x°y面上证明:设在xoy面上的投影域 轴的直线与的边界曲面的交点恰好两个,则∑由21,52,2 侧,∑2:z=z2{x,y)取上侧,2(xy)≤z2(x,y),3是以D 行于Z轴的柱面的一部分,取外侧, x,y,2 [R(x, ,2 ( x, )k-x 0(xy,2小{xy,2(xy) R (x, y, z kxdy=0 aR J adv=JR(x, y, 2)(D ax 类似:若过Ω内部且平行于x轴,y轴的直线与g的边界曲面∑的交点也且由两个时有 a=』P(xy,x) (1)+(2)+(3)即可证得高斯公式 若Ω不满足上述条件,可添加辅助面将其分成符号条件的若干块,且在辅助面两侧积分之 例1 -2)+(z-xax+(x-y)x】是z2=x2+y2与z=h>围成表面 的外 P=x-z).2=z-x, R=x-y, AU aQ, aR 解:令 原式=-xh=[4」a第六节 高斯公式 通量与散度 教学目的：理解和掌握高斯公式及应用，了解通量与散度的概念 教学重点：高斯公式 教学难点：高斯公式的应用 教学内容： 一. Gauss公式 定理，设空间闭区域 是有分片光滑的闭曲面 所围成的，函数 ， 导数，则 = = 其中 是 的整个边界曲面的外侧， 是 上 向余弦，称之为高斯公式. 证明：设 在 面上证明：设 在 面上的投影域 轴的直线与 的边界曲面 的交点恰好两个，则 由 侧， 取上侧， ， 是以 行于 轴的柱面的一部分，取外侧， 类似：若过 内部且平行于x轴，y 轴的直线与 的边界曲面 的交点也且由两个时有 (1)+(2)+(3)即可证得高斯公式 若 不满足上述条件，可添加辅助面将其分成符号条件的若干块，且在辅助面两侧积分之 例1 的外 解：令