第七章定积分 今G(x)是f(x)在[a,6上另一个原函数,则存在常数c,使得 F(x)≡G(x)+c 再利用条件F(a)=「f(t=0,确定常数c F(a=G(a)+c=0=c=-G(a 于是,F(x)=G(x)-G(a) SS()dx= F()-F(a)=G(b)-G(a 写成 f(x)dx=G(b)-G(a)=G(x) 这就是 Newton-- Leibniz公式,又称微积分基本公式 牛顿一莱布尼茨公式又可以写成 「dF(x)=F(b)-F(a) 这个公式是由牛顿和莱布尼茨独立完成的,所以称之为牛顿一莱布 尼茨公式.这个公式把计算定积分与求原函数,这两个看来不太有关的 问题联系在一起,从而给出了计算定积分的一个有效的方法。这是数学 历史发展中的重大发现。G(b)-G(a)=F(b)-F(a),因此对于∫(x) 在[a,b]上的任何一个原函数都有 牛顿一莱布尼茨公式又可以写成 ∫dF(x)=F(b)-F(a) 例2:计算定积分 解:因为√1+x2在区间[,是被积函数 一个原函数,根 据牛顿一莱布尼茨公式得到 dx=√l+x2=√ l+0 最好与不定积分求原函数结合起来 x 02√1+x 第七章定积分第七章 定积分 第七章 定积分 今 G(x) 是 f (x) 在 [a, b] 上另一个原函数, 则存在常数 c ,使得 F(x)  G(x) + c。 再利用条件 ( ) = ( ) = 0  a a F a f t dt , 确定常数 c : F(a) = G(a) + c = 0  c = −G(a), 于是, F(x)  G(x) − G(a), f (x)dx F(b) F(a) G(b) G(a) b a = − = −  写成： b a b a f (x)dx = G(b) − G(a) = G(x)  这就是 Newton---Leibniz 公式，又称微积分基本公式。 牛顿—莱布尼茨公式又可以写成 dF(x) F(b) F(a) b a  = − 这个公式是由牛顿和莱布尼茨独立完成的, 所以称之为牛顿—莱布 尼茨公式. 这个公式把计算定积分与求原函数, 这两个看来不太有关的 问题联系在一起, 从而给出了计算定积分的一个有效的方法。这是数学 历史发展中的重大发现。 G(b) −G(a) = F(b) − F(a),因此对于 f (x) 在 [a, b] 上的任何一个原函数都有 牛顿—莱布尼茨公式又可以写成 dF(x) F(b) F(a) b a  = − . 例 2:计算定积分  + 1 0 2 1 dx x x 解: 因为 2 1+ x 在区间 [0,1] 是被积函数 2 1 x x + 一个原函数，根 据牛顿—莱布尼茨公式得到  + 1 0 2 1 dx x x 1 1 1 1 0 2 1 1 0 2 = + x = + − + = − . 最好与不定积分求原函数结合起来：  + 1 0 2 1 dx x x = ( ) = + +  1 0 2 2 2 1 1 x d x 1 1 1 1 0 2 1 1 0 2 = + x = + − + = −