188 工程科学学报，第42卷，第2期 2无网格伽辽金法 将式(9)代入式(7)，得到： 2.1最小二乘近似 t=pA-国BU,=xM=D'xU, 1994年，Belytschko等在他们的重要文章里提 i=l (10) 出了EFG法6，其将移动最小二乘近似方法应用 式中形函数7 于伽辽金弱形式而产生一组代数方程，由于采取 了伽辽金弱式，故需要一套与节点无关的背景网 重T(x)={1(x)2(x)…pn(x)》=p(x)A-l(x)B(x) (11) 格进行数值积分.在现有的几十种无网格方法中， 2.3高斯积分离散 EFG法是应用最广泛的方法之一，相比于其他无 在EFG法中，为了求解式(5)，将问题域离散 网格方法，EFG法具有数值稳定、精度高的优点 成个背景单元，再利用高斯积分法求解每个背景 它与有限元法的本质区别是：有限元法采用预定 单元中ng个积分点的数值积分7，即： 义的单元构造形函数，而EFG法利用如图1所示 支持域中的节点和移动最小二乘法构造形函数 |a,通+边ab dydy 背景网格 支持域 K班 22a 0-228-22c ×积分点 。场节点 -22--22e网 图1支持域、背景网格、积分点和场节点示意 F叫 (12) Fig.I Support domains,background cells,evaluation points,and nodes 式中，w:是第i个积分点的加权因子，J是对背景 移动最小二乘法中，场变量(x)近似表示为： 单元k第i个积分点处进行域内积分的雅克比矩 h=2pAa=pea倒 (7) 阵，引为对边界第个积分点处曲线积分的雅克 j=1 比矩阵.nc和ng分别为离散边界的曲线单元数和 式中，p(x)为基函数，m为其项数，对于二维计算 子曲线上的高斯点数 域，线性基p(x)=(1xy),m=3,平方基p(x)= 3模型验证与结果分析 (1xyx2yy2),m=6,函数a(x)是x的系数向量， aT(x)=(a(x)a2(x)...am(x)). 3.1实验条件和计算参数 利用式（⑦构造加权残量泛函 以某钢厂断面为150mm×150mm的连铸小方 坯为研究对象，工艺参数和铸坯热物性参数见表1， m-(m小M了-m-小国M了=r 其中K。为对流放大因子，取值范围为5~10：Tg (8) 为液相线温度 式中，x是x支持域内的节点，n表示支持域中的节 3.2计算结果与讨论 点数，W(x)=Wx-x)为权函数，它对移动最小二 3.2.1节点均匀布置 乘近似的性能至关重要，其大小与节点x:与采样点 有限元法的收敛性是指：①当单元尺寸不断 x之间的距离成反比例. 减小时，有限元解逐渐趋近于精确解；②或当单元 2.2形函数 尺寸固定时，每个单元的自由度数越多，有限元解 为了得到a(x),对J求极值，即计算aJ/aa=0得到： 越趋近于精确解.由于无法测量结晶器内高温铸 坯的实际温度，且难以计算铸坯非稳态传热模型 a(x)=A-(x)B(x)Us (9) 的解析解，本文依据收敛性①，定义极细密单元分 式中，A=2Wxpp'x,Bx)=[wpx 布下的有限元解为参考解圆如图2所示，以距离 -1 W2(x)p(x2)...Wn(x)p(xn)].Us=[u.u...u 弯月面367mm处的铸坯横向切片为对象，计算不2    无网格伽辽金法 2.1    最小二乘近似 1994 年，Belytschko 等在他们的重要文章里提 出了 EFG 法[16] ，其将移动最小二乘近似方法应用 于伽辽金弱形式而产生一组代数方程，由于采取 了伽辽金弱式，故需要一套与节点无关的背景网 格进行数值积分. 在现有的几十种无网格方法中， EFG 法是应用最广泛的方法之一，相比于其他无 网格方法，EFG 法具有数值稳定、精度高的优点. 它与有限元法的本质区别是：有限元法采用预定 义的单元构造形函数，而 EFG 法利用如图 1 所示 支持域中的节点和移动最小二乘法构造形函数[12] . 移动最小二乘法中，场变量u(x) 近似表示为： u h (x) = ∑m j=1 pj(x)aj(x) = p T (x)a(x) （7） p T (x) m p T (x) = (1 x y) m p T (x) = (1 x y x2 xy y2 ) m a(x) x a T (x) = {a1(x) a2(x)···am(x)} 式中， 为基函数， 为其项数，对于二维计算 域 ， 线 性 基 ， =3， 平 方 基 ， =6，函数 是 的系数向量 ， . 利用式 (7) 构造加权残量泛函 J = ∑n i=1 Wi(x) [ u h (xi)−ui ]2 = ∑n i=1 Wi(x) [ p T (xi) a(x)−ui ]2 （8） xi x Wi(x) = W(x− xi) xi x 式中， 是 支持域内的节点，n 表示支持域中的节 点数， 为权函数，它对移动最小二 乘近似的性能至关重要，其大小与节点 与采样点 之间的距离成反比例. 2.2    形函数 为了得到 a(x) ，对 J 求极值，即计算 ∂J/∂a = 0 得到： a(x) = A −1 (x)B(x)Us （9） A(x)= ∑n i=1 Wi(x)p(xi) p T (xi), B(x)=[W1 (x) p(x1)· W2 (x) p(x2)...Wn (x) p(xn)], Us = [u1,u2,··· ,un] T 式中， 将式（9）代入式（7），得到： u h (x) = p T (x)A −1 (x)B(x)Us = ∑n i=1 ϕi(x)ui = Φ T (x)Us （10） 式中形函数[17] Φ T (x) = {ϕ1 (x)ϕ2 (x)···ϕn (x)} = p T (x)A −1 (x)B(x) （11） 2.3    高斯积分离散 nc ng 在 EFG 法中，为了求解式 (5)，将问题域离散 成 个背景单元，再利用高斯积分法求解每个背景 单元中 个积分点的数值积分[17] ，即：    KIJ = ∑nc k ∑ng i=1 wik ( ∂ΦI ∂x ∂ΦJ ∂x + ∂ΦI ∂y ∂ΦJ ∂y )   J D ik    | {z } K ik IJ = ∑nc k ∑ng i=1 ( K ik IJ ) CIJ = ∑nc k ∑ng i=1 wiρceffΦ T I ΦJ   J D ik    | {z } C ik IJ = ∑nc k ∑ng i=1 ( C ik IJ ) FI = ∑nct l ∑ngt i=1 −wiq ·ΦI   J B il    | {z } F il I = ∑nct l ∑ngt i=1 ( F il I ) （12） wi J D ik k   J B il    l i nct ngt 式中， 是第 i 个积分点的加权因子， 是对背景 单元 第 i 个积分点处进行域内积分的雅克比矩 阵， 为对边界 第 个积分点处曲线积分的雅克 比矩阵. 和 分别为离散边界的曲线单元数和 子曲线上的高斯点数. 3    模型验证与结果分析 3.1    实验条件和计算参数 以某钢厂断面为 150 mm×150 mm 的连铸小方 坯为研究对象，工艺参数和铸坯热物性参数见表 1， 其中 Kc 为对流放大因子，取值范围为 5 ~ 10；Tliq 为液相线温度. 3.2    计算结果与讨论 3.2.1    节点均匀布置 有限元法的收敛性是指：①当单元尺寸不断 减小时，有限元解逐渐趋近于精确解；②或当单元 尺寸固定时，每个单元的自由度数越多，有限元解 越趋近于精确解. 由于无法测量结晶器内高温铸 坯的实际温度，且难以计算铸坯非稳态传热模型 的解析解，本文依据收敛性①，定义极细密单元分 布下的有限元解为参考解[18] . 如图 2 所示，以距离 弯月面 367 mm 处的铸坯横向切片为对象，计算不 背景网格 支持域 积分点 场节点 图 1    支持域、背景网格、积分点和场节点示意 Fig.1    Support domains, background cells, evaluation points, and nodes · 188 · 工程科学学报，第 42 卷，第 2 期