工程科学学报.第42卷.第2期：186-193.2020年2月 Chinese Journal of Engineering,Vol.42,No.2:186-193,February 2020 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2019.02.02.001;http://cje.ustb.edu.cn 基于无网格伽辽金法的连铸坯凝固计算方法 王 宁12)，王旭东2)四，蔡来强2)，姚曼2 1)大连理工大学材料科学与工程学院.大连1160242)辽宁省凝固控制与数字化制备技术重点实验室，大连116024 ☒通信作者，E-mail:hler@dlut.edu.cn 摘要为考察无网格方法求解铸坯凝固过程的可行性，本文依据移动最小二乘和变分原理，推导并建立了基于无网格伽辽 金法的结晶器内铸坯凝固过程二维非稳态传热/凝固数学模型.以小方坯凝固过程为对象，分别采用节点均匀布置、加密布 置、随机布置方式，模拟分析了小方坯凝固过程的温度场变化，并将计算结果与参考解、有限元法数值解进行了对比，结果证 实无网格侧辽金法在计算精度、自适应性、网格依赖性等方面均优于有限元法.研究结果为无网格方法应用于连铸过程的传 热、凝固以及应力/应变行为的数值计算提供参考. 关键词无网格伽辽金法：移动最小二乘：传热：凝固：连铸 分类号TG244+.3 Calculation of continuous casting billet solidification based on element-free Galerkin method WANG Ning 2).WANG Xu-dong CAI Lai-giang 2)YAO Man2) 1)School of Materials Science and Engineering,Dalian University of Technology,Dalian 116024,China 2)Key Laboratory of Solidification Control and Digital Preparation Technology (Liaoning Province),Dalian University of Technology,Dalian 116024, China Corresponding author,E-mail:hler@dlut.edu.cn ABSTRACT The mold is the core component of a continuous caster,and the complex metallurgical behavior in the mold is the primary factor determining the quality of continuous casting slabs.The numerical simulation method based on meshing,such as the finite element method,has become an important method to study the complex heat transfer and mechanical behavior in the mold.With in-depth research,the meshing-based numerical simulation method has been found incapable of accurately reconstructing the solidified shell shape of slabs and tracing the liquid-solid phases coexisting region,and addressing some complex problems such as large deformation and crack propagation is difficult.To investigate the feasibility of the meshless method for solving the solidification process of continuous casting billet,according to the moving least square method and variational principle,a two-dimensional unsteady transient heat transfer mathematical model of billet solidification process in mold was established based on element-free Galerkin method.In this work,an arrangement of the uniform,increased density,and randomly distributed nodes was used to calculate the change of temperature field during the billet solidification process.The calculation results of the element-free Galerkin method were compared with the reference solution and the numerical solution of the finite element method.The results show that the element-free Galerkin method outperforms the finite element method in terms of accuracy,adaptability,and mesh-dependence.The study results provide references for applying the meshless method to the numerical calculation of heat transfer,solidification,and stress/strain behaviors in the continuous casting process. 收稿日期：2019-02-02 基金项目：国家自然科学基金资助项目(51474047)
基于无网格伽辽金法的连铸坯凝固计算方法 王 宁1,2)，王旭东1,2) 苣，蔡来强1,2)，姚 曼1,2) 1) 大连理工大学材料科学与工程学院，大连 116024 2) 辽宁省凝固控制与数字化制备技术重点实验室，大连 116024 苣通信作者，E-mail：hler@dlut.edu.cn 摘 要 为考察无网格方法求解铸坯凝固过程的可行性，本文依据移动最小二乘和变分原理，推导并建立了基于无网格伽辽 金法的结晶器内铸坯凝固过程二维非稳态传热/凝固数学模型. 以小方坯凝固过程为对象，分别采用节点均匀布置、加密布 置、随机布置方式，模拟分析了小方坯凝固过程的温度场变化，并将计算结果与参考解、有限元法数值解进行了对比，结果证 实无网格伽辽金法在计算精度、自适应性、网格依赖性等方面均优于有限元法. 研究结果为无网格方法应用于连铸过程的传 热、凝固以及应力/应变行为的数值计算提供参考. 关键词 无网格伽辽金法；移动最小二乘；传热；凝固；连铸 分类号 TG244+.3 Calculation of continuous casting billet solidification based on element-free Galerkin method WANG Ning1,2) ，WANG Xu-dong1,2) 苣 ，CAI Lai-qiang1,2) ，YAO Man1,2) 1) School of Materials Science and Engineering, Dalian University of Technology, Dalian 116024, China 2) Key Laboratory of Solidification Control and Digital Preparation Technology (Liaoning Province), Dalian University of Technology, Dalian 116024, China 苣 Corresponding author, E-mail: hler@dlut.edu.cn ABSTRACT The mold is the core component of a continuous caster, and the complex metallurgical behavior in the mold is the primary factor determining the quality of continuous casting slabs. The numerical simulation method based on meshing, such as the finite element method, has become an important method to study the complex heat transfer and mechanical behavior in the mold. With in-depth research, the meshing-based numerical simulation method has been found incapable of accurately reconstructing the solidified shell shape of slabs and tracing the liquid-solid phases coexisting region, and addressing some complex problems such as large deformation and crack propagation is difficult. To investigate the feasibility of the meshless method for solving the solidification process of continuous casting billet, according to the moving least square method and variational principle, a two-dimensional unsteady transient heat transfer mathematical model of billet solidification process in mold was established based on element-free Galerkin method. In this work, an arrangement of the uniform, increased density, and randomly distributed nodes was used to calculate the change of temperature field during the billet solidification process. The calculation results of the element-free Galerkin method were compared with the reference solution and the numerical solution of the finite element method. The results show that the element-free Galerkin method outperforms the finite element method in terms of accuracy, adaptability, and mesh-dependence. The study results provide references for applying the meshless method to the numerical calculation of heat transfer, solidification, and stress/strain behaviors in the continuous casting process. 收稿日期: 2019−02−02 基金项目: 国家自然科学基金资助项目（51474047） 工程科学学报，第 42 卷，第 2 期：186−193，2020 年 2 月 Chinese Journal of Engineering, Vol. 42, No. 2: 186−193, February 2020 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2019.02.02.001; http://cje.ustb.edu.cn
王宁等：基于无网格伽辽金法的连铸坯凝固计算方法 187 KEY WORDS element-free Galerkin method;moving least squares;heat transfer;solidification;continuous casting 结晶器内钢液温度几乎无法直接测量，数值 +Q=pcT 模拟是研究结晶器内铸坯凝固行为的重要途径山 Tlt=0=Tin (1) 随着研究问题的深入，基于网格划分的数值方法 .aT .OT 无法精确重构凝固坯壳形貌和液/固相区，对于裂 -nx+kny=q y 纹和大变形等网格复杂变化的问题甚至无法求 式中，k为导热系数，Wm1.K-l;T和Tn分别为温 解.无网格方法用离散的节点代替网格结构，在自 度和初始浇铸温度，℃；T为温度对于时间的导数； 适应、求解裂纹和大变形等问题体现出显著优势， p为密度，kgm3;c为比热容，Jkg1.K-l;n和n,分 已经应用于流体力学、电磁学、爆炸等-多个领 别为沿x和y方向边界外法线的方向余弦；q为结晶 域，也有少数研究将其应用于连铸过程.Zhang等阿 器/俦坯界面上的热流密度，W,m2,采用Savage 用有限点法和无网格局部彼得罗夫伽辽金方法分 与Pritchard提出的经验公式ll:g=A-BVf,t表示 析了方坯凝固过程中的热弹塑性问题：Vertnik与 时间，S,A和B为与结晶器有关的系数； Sarler忉利用局部径向基函数配点法预测了钢液的 dfs dfs dT 湍流流动和传热行为；Yamasaki等图用基于粒子 O=pL (2) dT dr 的MPS法模拟二冷区复杂的喷洒水流：Vaghefi等 式中，Q为内热源，Jm3s,为固相率，L为钢 用MLPG法分析了坯壳的热弹塑性情况；Hostos 液的凝固潜热，Jkg 等uo用无网格伽辽金方法(element--free Galerkin 将式(2)代入式(1)中得到： method,.EFG)计算圆坯的传热和力学行为.但是 ) a/.ar\ 与有限元、有限差分等模拟方法相比，无网格方法 =pc,其中等效热容c=c-L） dfs 在连铸过程的研究仍然较少，且已有研究均采用 1.2变分处理 均匀布置的节点离散计算区域，暂无针对无网格 取温度变分δT为任意函数，利用分部积分法， 方法节点布置的灵活性及其与传统模拟方法相互 建立能量泛函，得到等效积分弱形式为 验证的研究，而无网格方法最大的优势在于其节 点布置的灵活性，因此探讨多种节点布置方法的 g+tg+actbo-w7dr=0 计算精度是十分必要的 (3) 本文依据EFG法基本原理和铸坯传热凝固控 将求解域Ω离散为有限的N个节点，求解域 制方程，建立了基于EFG法的小方坯凝固过程数 内1时刻任意位置(xy)处的温度T(x,y,)可用邻近 值模型，运用C+语言自行设计和开发了面向对 的n个节点的温度与形函数的乘积加和来表示， 象的铸坯凝固过程无网格数值计算软件.探讨多 得到式(4)： 种节点布置方式下的无网格与有限元方法在计算 精确度、自适应性、网格依赖性等方面的差异，为 Ty0=∑pI, 8T= >Φ8T1(i) 无网格方法求解连铸过程的传热、凝固以及后续 (4) 的应力、多相耦合与界面追踪等问题提供基础 =O(.y.!) 51 .oTi(1) 1铸坯传热/凝固模型的建立 式中，Φ为节点1的形函数，将式(4)代入式(3)，整 依据铸坯的凝固特点，建立模型前作如下假 理得到式(5)： 设：沿拉坯方向传递的热量只占总热量的3%~6%， CNXNTNxI+KNxNTNxI FNxI (5) 忽略铸坯纵向传热，简化为二维非稳态传热过程叫： 式中，Ku=gk.r中，7Φd2,C切=∫QPCet·ΦΦd2, 铸坯顶部和底部绝热；忽略弯月面以上保护渣吸 F1=∫，-q1dr,V为那勃勒算子. 收的热量：忽略结品器的锥度和弧度以及铸坯凝 通过求解式(5)可以得到连铸坯二维横截面 固产生的收缩变形：铸坯热物性参数各向同性 的温度分布，沿浇铸方问，采用以下无条件稳定的 1.1传热控制模型 向后差分法进行离散求解吲，其中△表示时间步长： 连铸坯凝固过程二维非稳态传热方程)： (C++△tK+)T+=△tF+A+C+△T, (6)
KEY WORDS element-free Galerkin method；moving least squares；heat transfer；solidification；continuous casting 结晶器内钢液温度几乎无法直接测量，数值 模拟是研究结晶器内铸坯凝固行为的重要途径[1] . 随着研究问题的深入，基于网格划分的数值方法 无法精确重构凝固坯壳形貌和液/固相区，对于裂 纹和大变形等网格复杂变化的问题甚至无法求 解. 无网格方法用离散的节点代替网格结构，在自 适应、求解裂纹和大变形等问题体现出显著优势， 已经应用于流体力学、电磁学、爆炸等[2−5] 多个领 域，也有少数研究将其应用于连铸过程. Zhang 等[6] 用有限点法和无网格局部彼得罗夫伽辽金方法分 析了方坯凝固过程中的热弹塑性问题；Vertnik 与 Šarler[7] 利用局部径向基函数配点法预测了钢液的 湍流流动和传热行为；Yamasaki 等[8] 用基于粒子 的 MPS 法模拟二冷区复杂的喷洒水流；Vaghefi 等[9] 用 MLPG 法分析了坯壳的热弹塑性情况；Hostos 等 [10] 用无网格伽辽金方 法 (element-free Galerkin method，EFG) 计算圆坯的传热和力学行为. 但是 与有限元、有限差分等模拟方法相比，无网格方法 在连铸过程的研究仍然较少，且已有研究均采用 均匀布置的节点离散计算区域，暂无针对无网格 方法节点布置的灵活性及其与传统模拟方法相互 验证的研究，而无网格方法最大的优势在于其节 点布置的灵活性，因此探讨多种节点布置方法的 计算精度是十分必要的. 本文依据 EFG 法基本原理和铸坯传热凝固控 制方程，建立了基于 EFG 法的小方坯凝固过程数 值模型，运用 C++语言自行设计和开发了面向对 象的铸坯凝固过程无网格数值计算软件. 探讨多 种节点布置方式下的无网格与有限元方法在计算 精确度、自适应性、网格依赖性等方面的差异，为 无网格方法求解连铸过程的传热、凝固以及后续 的应力、多相耦合与界面追踪等问题提供基础. 1 铸坯传热/凝固模型的建立 依据铸坯的凝固特点，建立模型前作如下假 设：沿拉坯方向传递的热量只占总热量的 3% ~ 6%， 忽略铸坯纵向传热，简化为二维非稳态传热过程[11] ； 铸坯顶部和底部绝热；忽略弯月面以上保护渣吸 收的热量；忽略结晶器的锥度和弧度以及铸坯凝 固产生的收缩变形；铸坯热物性参数各向同性. 1.1 传热控制模型 连铸坯凝固过程二维非稳态传热方程[12] ： ∂ ∂x ( k ∂T ∂x ) + ∂ ∂y ( k ∂T ∂y ) + Q = ρcT˙ T| t=0 = Tin − ( k ∂T ∂x nx +k ∂T ∂y ny ) = q （1） k W·m−1 ·K −1 T Tin T˙ ρ kg ·m−3 J· kg−1 ·K −1 nx ny x y W·m−2 q = A− B √ t t 式中， 为导热系数， ； 和 分别为温 度和初始浇铸温度，℃； 为温度对于时间的导数； 为密度， ；c 为比热容， ； 和 分 别为沿 和 方向边界外法线的方向余弦；q 为结晶 器/铸坯界面上的热流密度， ，采用 Savage 与 Pritchard 提出的经验公式[13] ： , 表示 时间，s，A 和 B 为与结晶器有关的系数； Q = ρL d fs dt = ρL d fs dT dT dt （2） Q J·m−3 ·s −1 fs L J· kg−1 式中， [14] 为内热源， ， 为固相率， 为钢 液的凝固潜热， . ∂ ∂x ( k ∂T ∂x ) + ∂ ∂y ( k ∂T ∂y ) = ρceff ∂T ∂t ceff= ( c− L d fs dT ) 将 式 （ 2） 代 入 式 （ 1） 中 得 到 ： ，其中等效热容 . 1.2 变分处理 取温度变分 δT 为任意函数，利用分部积分法， 建立能量泛函，得到等效积分弱形式为[15] ： w Ω [ k ∂T ∂x ∂δT ∂x +k ∂T ∂y ∂δT ∂y +ρceffT˙δT ] dΩ+ w Γ2 qδTdΓ = 0 （3） Ω T (x, y,t) 将求解域 离散为有限的 N 个节点，求解域 内 t 时刻任意位置 (x,y) 处的温度 可用邻近 的 n 个节点的温度与形函数的乘积加和来表示， 得到式 (4)： T (x, y,t) = ∑n I=1 ΦITI (t), δT = ∑n I=1 ΦIδTI (t) T˙ = ∂T (x, y,t) ∂t = ∑n I=1 ΦI ∂TI (t) ∂t （4） 式中， ΦI 为节点 I 的形函数，将式（4）代入式 (3)，整 理得到式 (5)： CN×NT˙N×1 + KN×NTN×1 = FN×1 （5） KIJ = r Ω k · ∇TΦI ∇ΦJdΩ, CIJ = r Ω ρceff ·ΦT I ΦJdΩ, FI = r Γ2 −q ·ΦIdΓ ∇ 式中， ， 为那勃勒算子. ∆t 通过求解式（5）可以得到连铸坯二维横截面 的温度分布，沿浇铸方向，采用以下无条件稳定的 向后差分法进行离散求解[15] ，其中 表示时间步长： (Ct+∆t + ∆tKt+∆t)Tt+∆t = ∆tFt+∆t +Ct+∆tTt （6） 王 宁等： 基于无网格伽辽金法的连铸坯凝固计算方法 · 187 ·
188 工程科学学报，第42卷，第2期 2无网格伽辽金法 将式(9)代入式(7)，得到： 2.1最小二乘近似 t=pA-国BU,=xM=D'xU, 1994年，Belytschko等在他们的重要文章里提 i=l (10) 出了EFG法6，其将移动最小二乘近似方法应用 式中形函数7 于伽辽金弱形式而产生一组代数方程，由于采取 了伽辽金弱式，故需要一套与节点无关的背景网 重T(x)={1(x)2(x)…pn(x)》=p(x)A-l(x)B(x) (11) 格进行数值积分.在现有的几十种无网格方法中， 2.3高斯积分离散 EFG法是应用最广泛的方法之一，相比于其他无 在EFG法中，为了求解式(5)，将问题域离散 网格方法，EFG法具有数值稳定、精度高的优点 成个背景单元，再利用高斯积分法求解每个背景 它与有限元法的本质区别是：有限元法采用预定 单元中ng个积分点的数值积分7，即： 义的单元构造形函数，而EFG法利用如图1所示 支持域中的节点和移动最小二乘法构造形函数 |a,通+边ab dydy 背景网格 支持域 K班 22a 0-228-22c ×积分点 。场节点 -22--22e网 图1支持域、背景网格、积分点和场节点示意 F叫 (12) Fig.I Support domains,background cells,evaluation points,and nodes 式中，w:是第i个积分点的加权因子，J是对背景 移动最小二乘法中，场变量(x)近似表示为： 单元k第i个积分点处进行域内积分的雅克比矩 h=2pAa=pea倒 (7) 阵，引为对边界第个积分点处曲线积分的雅克 j=1 比矩阵.nc和ng分别为离散边界的曲线单元数和 式中，p(x)为基函数，m为其项数，对于二维计算 子曲线上的高斯点数 域，线性基p(x)=(1xy),m=3,平方基p(x)= 3模型验证与结果分析 (1xyx2yy2),m=6,函数a(x)是x的系数向量， aT(x)=(a(x)a2(x)...am(x)). 3.1实验条件和计算参数 利用式（⑦构造加权残量泛函 以某钢厂断面为150mm×150mm的连铸小方 坯为研究对象，工艺参数和铸坯热物性参数见表1， m-(m小M了-m-小国M了=r 其中K。为对流放大因子，取值范围为5~10：Tg (8) 为液相线温度 式中，x是x支持域内的节点，n表示支持域中的节 3.2计算结果与讨论 点数，W(x)=Wx-x)为权函数，它对移动最小二 3.2.1节点均匀布置 乘近似的性能至关重要，其大小与节点x:与采样点 有限元法的收敛性是指：①当单元尺寸不断 x之间的距离成反比例. 减小时，有限元解逐渐趋近于精确解；②或当单元 2.2形函数 尺寸固定时，每个单元的自由度数越多，有限元解 为了得到a(x),对J求极值，即计算aJ/aa=0得到： 越趋近于精确解.由于无法测量结晶器内高温铸 坯的实际温度，且难以计算铸坯非稳态传热模型 a(x)=A-(x)B(x)Us (9) 的解析解，本文依据收敛性①，定义极细密单元分 式中，A=2Wxpp'x,Bx)=[wpx 布下的有限元解为参考解圆如图2所示，以距离 -1 W2(x)p(x2)...Wn(x)p(xn)].Us=[u.u...u 弯月面367mm处的铸坯横向切片为对象，计算不
2 无网格伽辽金法 2.1 最小二乘近似 1994 年，Belytschko 等在他们的重要文章里提 出了 EFG 法[16] ，其将移动最小二乘近似方法应用 于伽辽金弱形式而产生一组代数方程，由于采取 了伽辽金弱式，故需要一套与节点无关的背景网 格进行数值积分. 在现有的几十种无网格方法中， EFG 法是应用最广泛的方法之一，相比于其他无 网格方法，EFG 法具有数值稳定、精度高的优点. 它与有限元法的本质区别是：有限元法采用预定 义的单元构造形函数，而 EFG 法利用如图 1 所示 支持域中的节点和移动最小二乘法构造形函数[12] . 移动最小二乘法中，场变量u(x) 近似表示为： u h (x) = ∑m j=1 pj(x)aj(x) = p T (x)a(x) （7） p T (x) m p T (x) = (1 x y) m p T (x) = (1 x y x2 xy y2 ) m a(x) x a T (x) = {a1(x) a2(x)···am(x)} 式中， 为基函数， 为其项数，对于二维计算 域 ， 线 性 基 ， =3， 平 方 基 ， =6，函数 是 的系数向量 ， . 利用式 (7) 构造加权残量泛函 J = ∑n i=1 Wi(x) [ u h (xi)−ui ]2 = ∑n i=1 Wi(x) [ p T (xi) a(x)−ui ]2 （8） xi x Wi(x) = W(x− xi) xi x 式中， 是 支持域内的节点，n 表示支持域中的节 点数， 为权函数，它对移动最小二 乘近似的性能至关重要，其大小与节点 与采样点 之间的距离成反比例. 2.2 形函数 为了得到 a(x) ，对 J 求极值，即计算 ∂J/∂a = 0 得到： a(x) = A −1 (x)B(x)Us （9） A(x)= ∑n i=1 Wi(x)p(xi) p T (xi), B(x)=[W1 (x) p(x1)· W2 (x) p(x2)...Wn (x) p(xn)], Us = [u1,u2,··· ,un] T 式中， 将式（9）代入式（7），得到： u h (x) = p T (x)A −1 (x)B(x)Us = ∑n i=1 ϕi(x)ui = Φ T (x)Us （10） 式中形函数[17] Φ T (x) = {ϕ1 (x)ϕ2 (x)···ϕn (x)} = p T (x)A −1 (x)B(x) （11） 2.3 高斯积分离散 nc ng 在 EFG 法中，为了求解式 (5)，将问题域离散 成 个背景单元，再利用高斯积分法求解每个背景 单元中 个积分点的数值积分[17] ，即： KIJ = ∑nc k ∑ng i=1 wik ( ∂ΦI ∂x ∂ΦJ ∂x + ∂ΦI ∂y ∂ΦJ ∂y ) J D ik | {z } K ik IJ = ∑nc k ∑ng i=1 ( K ik IJ ) CIJ = ∑nc k ∑ng i=1 wiρceffΦ T I ΦJ J D ik | {z } C ik IJ = ∑nc k ∑ng i=1 ( C ik IJ ) FI = ∑nct l ∑ngt i=1 −wiq ·ΦI J B il | {z } F il I = ∑nct l ∑ngt i=1 ( F il I ) （12） wi J D ik k J B il l i nct ngt 式中， 是第 i 个积分点的加权因子， 是对背景 单元 第 i 个积分点处进行域内积分的雅克比矩 阵， 为对边界 第 个积分点处曲线积分的雅克 比矩阵. 和 分别为离散边界的曲线单元数和 子曲线上的高斯点数. 3 模型验证与结果分析 3.1 实验条件和计算参数 以某钢厂断面为 150 mm×150 mm 的连铸小方 坯为研究对象，工艺参数和铸坯热物性参数见表 1， 其中 Kc 为对流放大因子，取值范围为 5 ~ 10；Tliq 为液相线温度. 3.2 计算结果与讨论 3.2.1 节点均匀布置 有限元法的收敛性是指：①当单元尺寸不断 减小时，有限元解逐渐趋近于精确解；②或当单元 尺寸固定时，每个单元的自由度数越多，有限元解 越趋近于精确解. 由于无法测量结晶器内高温铸 坯的实际温度，且难以计算铸坯非稳态传热模型 的解析解，本文依据收敛性①，定义极细密单元分 布下的有限元解为参考解[18] . 如图 2 所示，以距离 弯月面 367 mm 处的铸坯横向切片为对象，计算不 背景网格 支持域 积分点 场节点 图 1 支持域、背景网格、积分点和场节点示意 Fig.1 Support domains, background cells, evaluation points, and nodes · 188 · 工程科学学报，第 42 卷，第 2 期
王宁等：基于无网格伽辽金法的连铸坯凝固计算方法 189 表1工艺参数和铸还热物性参数 1327.6 Table 1 Casting conditions and thermophysical properties of slab 1327.4 参数 数值 1327.2 拉速/(mmin) 2.2 浇铸温度/℃ 1530.0 1327.0 结品器高度m 1.0 1326.8 液位高度m 0.85 1326.6 结品器水量(m3h-) 119.8 结品器水流速(ms) 0 20000400006000080000100000 12.7 单元数 固/液相线温度/℃ 1440.0/1505.0 图2单元数量对温度的影响 密度/kgm 7500-1.2(T-Tig) Fig.2 Influence of the number of elements on temperature 导热系数/Wm.K-) K(13.86+0.01113T) 比热容JkgK) 吻合，证明了EFG法计算小方坯凝固传热的可行性 666+0.17T 潜热kg) 272000 计算并分析小方坯的角部节点和表面中心节 点温度随浇铸方向的变化，比较EFG法和有限元 同单元数目下小方坯表面中心在浇铸10s时的温 法的精度，如图5所示，与相同单元数目的有限元 度值，发现随着单元数量的增多，温度变化由开始 法相比，EFG法的计算结果更加接近参考解，且其 的快速下降变为在1326.6℃附近缓慢降低，因此 变化趋势也与参考解高度吻合 本文取90000(300×300)个单元的ANSYS计算结 3.2.2节点加密布置 果作为参考解，以验证后续不同无网格节点和有 EFG法和有限元法中，节点和单元的数目越 限元单元设置条件下计算结果的准确性和精度. 多，越有助于分析细节的变化，但节点和单元的增 为了考察基于EFG法的小方坯凝固传热模型 加也会导致计算成本的增加，因此综合考量计算 的正确性和精确度，在小方坯横截面上用31× 精度和时间，可在高梯度区域插入较多节点和单 31个均匀分布的节点离散二维计算域，将其数值 元，以同时满足计算的效率和准确性.铸坯边界处 解与参考解和30×30个单元的ANSYS有限元数 温度梯度高，凝固行为、坯壳厚度将直接影响铸坯 值解进行对比，对应的EFG法和有限元法的离散 的质量，因此为了进一步考察铸坯的凝固进程，可 模型如图3所示 在边界附近加密布置节点和单元 图4为距离弯月面300mm和结晶器出口处 有限元法及其他基于网格的方法需要重新划 的温度分布，将EFG法数值解与相同节点数的 分网格，在处理疏密网格的界面时需要节点间的 ANSYS软件的数值解和参考解作对比，从温度分 连接信息，前处理阶段耗费时间较长，处理繁琐 布看，EFG法的计算结果与有限元和参考解基本 与之相比，无网格法如EFG法无需进行网格划分， (a) (b) 图3区域离散示意.(a)EFG(31×31节点)：(b)有限元(30×30单元) Fig.3 Schematics of discrete area:(a)EFG (31x31 nodes):(b)FEM(30x30 elements)
同单元数目下小方坯表面中心在浇铸 10 s 时的温 度值，发现随着单元数量的增多，温度变化由开始 的快速下降变为在 1326.6 ℃ 附近缓慢降低，因此 本文取 90000 (300×300) 个单元的 ANSYS 计算结 果作为参考解，以验证后续不同无网格节点和有 限元单元设置条件下计算结果的准确性和精度. 为了考察基于 EFG 法的小方坯凝固传热模型 的正确性和精确度 ，在小方坯横截面上 用 31× 31 个均匀分布的节点离散二维计算域，将其数值 解与参考解和 30×30 个单元的 ANSYS 有限元数 值解进行对比，对应的 EFG 法和有限元法的离散 模型如图 3 所示. 图 4 为距离弯月面 300 mm 和结晶器出口处 的温度分布 ，将 EFG 法数值解与相同节点数的 ANSYS 软件的数值解和参考解作对比，从温度分 布看，EFG 法的计算结果与有限元和参考解基本 吻合，证明了 EFG 法计算小方坯凝固传热的可行性. 计算并分析小方坯的角部节点和表面中心节 点温度随浇铸方向的变化，比较 EFG 法和有限元 法的精度，如图 5 所示，与相同单元数目的有限元 法相比，EFG 法的计算结果更加接近参考解，且其 变化趋势也与参考解高度吻合. 3.2.2 节点加密布置 EFG 法和有限元法中，节点和单元的数目越 多，越有助于分析细节的变化，但节点和单元的增 加也会导致计算成本的增加，因此综合考量计算 精度和时间，可在高梯度区域插入较多节点和单 元，以同时满足计算的效率和准确性. 铸坯边界处 温度梯度高，凝固行为、坯壳厚度将直接影响铸坯 的质量，因此为了进一步考察铸坯的凝固进程，可 在边界附近加密布置节点和单元. 有限元法及其他基于网格的方法需要重新划 分网格，在处理疏密网格的界面时需要节点间的 连接信息，前处理阶段耗费时间较长，处理繁琐. 与之相比，无网格法如 EFG 法无需进行网格划分， 表 1 工艺参数和铸坯热物性参数 Table 1 Casting conditions and thermophysical properties of slab 参数 数值 拉速/(m·min−1) 2.2 浇铸温度/℃ 1530.0 结晶器高度/m 1.0 液位高度/m 0.85 结晶器水量/(m3 ·h−1) 119.8 结晶器水流速/(m·s−1) 12.7 固/液相线温度/℃ 1440.0/1505.0 密度/(kg·m−3) 7500-1.2(T−Tliq) 导热系数/(W·m−1·K−1) Kc (13.86 + 0.01113T) 比热容/(J·kg−1·K−1) 666 + 0.17T 潜热/(J·kg−1) 272000 温度/℃ 单元数 1327.6 1327.4 1327.2 1327.0 1326.8 1326.6 0 20000 40000 60000 80000 100000 图 2 单元数量对温度的影响 Fig.2 Influence of the number of elements on temperature (a) (b) 图 3 区域离散示意. （a） EFG （31×31 节点）; （b） 有限元 （30×30 单元） Fig.3 Schematics of discrete area: (a) EFG (31×31 nodes); (b) FEM (30×30 elements) 王 宁等： 基于无网格伽辽金法的连铸坯凝固计算方法 · 189 ·
·190 工程科学学报，第42卷，第2期 温度/℃ 1530 1480 300mm 300mm 300mm 1430 1380 1330 1280 1230 -1180 出口处 出日处 出口处 1130 1080 (a) (b) (c) L1030 图4不同高度铸坯横截面温度分布.(a)EFG(31×31节点)：(b)有限元(30×30单元)：(c)参考解(300×300单元) Fig4 Temperature distribution of billet at different heights:(a)EFG(31x31 nodes).(b)FEM (30x30 elements).(c)reference solution (300x 300 elements) 1500 (a) ■FEM(30×30单元) 1500 (b) ■FEM(30×30单元) ·EFG(31×31节点) 。EFG(31×31节点) 1400 参考解(300×300单元) -参考解(300×300单元) 1450 13001 之1400 1350 1100 1300 1000 1250 0 200 400 600 800 200 400 600 800 距弯月面高度/mm 距弯月面高度/mm 图5EFG法与有限元法数值解的对比.(a)铸坯角部：(b)表面中心 Fig.5 Comparison between the numerical solutions obtained by EFG and FEM:(a)comer of slab;(b)midpoint of surface 无需节点间的连接信息，只需要在高梯度区域插 下，基于EFG法的铸坯表面温度数值解低于有限 入独立的离散点，即可得到精确度更高的数值模型 元法 本文探讨了EFG法和有限元法在边界加密条 为了进一步分析计算结果的差异，表2详细列 件下的数值解精度，小方坯二维计算域的离散模 出了距离弯月面不同高度处，在边界处布置加密 型如图6所示，EFG法在边界处加密1层，在非边 节点的EFG法和有限元法的数值解与参考解的差 界处稀疏布置，总体上仍然使用31×31个节点，有 值.可以看出，两种方法越接近结晶器出口处的数 限元法采用ANSYS软件设定的边界单元加密方 值解精度越高，同时EFG法数值解的精度明显高 式，网格间的连续性使其无法添加独立的网格，因 于有限元法，其与参考解的差值均在04K以内 此边界附近的单元整体变动较大，共使用2056个 但是有限元法的单元数目远高于EFG法的总节点 单元 数961.需要指出的是，EFG法仅在边界处加密了 图7展示了基于EFG法和ANSYS软件得到 节点，节点数目并未发生变化.以上结果说明，相 的小方坯表面温度分布，由角部附近的温度等高 比于有限元法，EFG法在节点灵活性、自适应以及 线位置可以看出，在边界处布置加密节点的情况 解的精确度方面有显著优势
无需节点间的连接信息，只需要在高梯度区域插 入独立的离散点，即可得到精确度更高的数值模型. 本文探讨了 EFG 法和有限元法在边界加密条 件下的数值解精度，小方坯二维计算域的离散模 型如图 6 所示，EFG 法在边界处加密 1 层，在非边 界处稀疏布置，总体上仍然使用 31×31 个节点，有 限元法采用 ANSYS 软件设定的边界单元加密方 式，网格间的连续性使其无法添加独立的网格，因 此边界附近的单元整体变动较大，共使用 2056 个 单元. 图 7 展示了基于 EFG 法和 ANSYS 软件得到 的小方坯表面温度分布，由角部附近的温度等高 线位置可以看出，在边界处布置加密节点的情况 下，基于 EFG 法的铸坯表面温度数值解低于有限 元法. 为了进一步分析计算结果的差异，表 2 详细列 出了距离弯月面不同高度处，在边界处布置加密 节点的 EFG 法和有限元法的数值解与参考解的差 值. 可以看出，两种方法越接近结晶器出口处的数 值解精度越高，同时 EFG 法数值解的精度明显高 于有限元法，其与参考解的差值均在 0.4 K 以内. 但是有限元法的单元数目远高于 EFG 法的总节点 数 961. 需要指出的是，EFG 法仅在边界处加密了 节点，节点数目并未发生变化. 以上结果说明，相 比于有限元法，EFG 法在节点灵活性、自适应以及 解的精确度方面有显著优势. 温度/℃ 1530 1480 1430 1380 1330 1280 1230 1180 1130 1080 1030 300 mm (a) (b) (c) 300 mm 300 mm 出口处 出口处 出口处 图 4 不同高度铸坯横截面温度分布. （a） EFG （31×31 节点）; （b） 有限元（30×30 单元）；（c） 参考解 （300×300 单元） Fig.4 Temperature distribution of billet at different heights: (a) EFG (31×31 nodes); (b) FEM (30×30 elements); (c) reference solution (300× 300 elements) 温度/℃ 温度/℃ 1500 1400 1300 1200 1100 1000 1500 1450 1400 1350 1300 1250 0 200 400 (a) (b) 600 800 距弯月面高度/mm 0 200 400 600 800 距弯月面高度/mm FEM (30×30单元) EFG (31×31节点) 参考解 (300×300单元) FEM (30×30单元) EFG (31×31节点) 参考解 (300×300单元) 图 5 EFG 法与有限元法数值解的对比. （a） 铸坯角部; （b） 表面中心 Fig.5 Comparison between the numerical solutions obtained by EFG and FEM: (a) corner of slab; (b) midpoint of surface · 190 · 工程科学学报，第 42 卷，第 2 期
王宁等：基于无网格伽辽金法的连铸坯凝固计算方法 191 曲拼 (a) 6 ..... 讯：：：进 图6区域加密离散示意.(a)EFG(31×31节点：(b)有限元(2056单元) Fig.6 Distribution of local refinement near the boundary:(a)EFG(31x31 nodes);(b)FEM(2056 elements) 温度/℃ 1530 1480 100 100 1430 00 1380 300 1330 40 1280 5 5 1230 60 180 1130 700 800 (a) (b) 1080 800 1030 30 60 90 120 150 0 0 60 90 120 150 与左侧角部的距离mm 与左侧角部的距离mm 图7铸坯表面温度分布.(a)EFG(31×31节点5(b)有限元(2056单元) Fig.7 Temperature distribution of billet surface:(a)EFG (31x31nodes);(b)FEM(2056 elements) 表2两种方法数值解的对比 Table 2 Comparison of the numerical results of two methods EFG加密(31×31节点) 有限元加密(2056单元) 位置 至弯月面距离 温度/℃ 差值/℃ 温度/℃ 差值/℃ 300mm 1140.24 -0.23 1141.10 -1.09 铸坯角部 600mm 1058.85 -0.27 1059.42 -0.84 结品器出口 1035.12 -0.01 1035.69 -0.58 300mm 1339.80 0.39 1341.04 -0.85 表面中心 600mm 1300.80 0.06 1301.43 -0.57 结晶器出口 1286.01 -0.07 1286.25 -0.31 3.2.3节点随机布置 其可实现多种布点模式，如随机布置节点，可以减 裂纹是造成铸坯报废的最主要缺陷，其产生 少由人为设置网格尺寸带来的误差，这在其他基 与扩展均与结晶器内钢水的凝固行为密切相关， 于网格的数值方法中是难以实现的.为了验证 基于网格的数值模拟方法难以精确重构坯壳形貌 EFG法对非规则布点模型的适应性，采用如图8 和裂纹发展轨迹，而EFG法节点布置的灵活性使 所示的31×31和45×45个节点的随机布点方式计
3.2.3 节点随机布置 裂纹是造成铸坯报废的最主要缺陷，其产生 与扩展均与结晶器内钢水的凝固行为密切相关， 基于网格的数值模拟方法难以精确重构坯壳形貌 和裂纹发展轨迹，而 EFG 法节点布置的灵活性使 其可实现多种布点模式，如随机布置节点，可以减 少由人为设置网格尺寸带来的误差，这在其他基 于网格的数值方法中是难以实现的. 为了验证 EFG 法对非规则布点模型的适应性，采用如图 8 所示的 31×31 和 45×45 个节点的随机布点方式计 表 2 两种方法数值解的对比 Table 2 Comparison of the numerical results of two methods 位置 至弯月面距离 EFG加密 (31×31节点) 有限元加密 (2056单元) 温度/℃ 差值/℃ 温度/℃ 差值/℃ 铸坯角部 300 mm 1140.24 −0.23 1141.10 −1.09 600 mm 1058.85 −0.27 1059.42 −0.84 结晶器出口 1035.12 −0.01 1035.69 −0.58 表面中心 300 mm 1339.80 0.39 1341.04 −0.85 600 mm 1300.80 0.06 1301.43 −0.57 结晶器出口 1286.01 −0.07 1286.25 −0.31 (a) (b) 图 6 区域加密离散示意. (a) EFG (31×31 节点); (b) 有限元 (2056 单元) Fig.6 Distribution of local refinement near the boundary: (a) EFG (31×31 nodes); (b) FEM (2056 elements) 距离弯月面的高度/mm 0 100 200 300 400 500 600 700 800 距离弯月面的高度/mm 0 100 200 300 400 500 600 700 800 0 30 60 90 (a) (b) 120 150 与左侧角部的距离/mm 0 30 60 90 120 150 与左侧角部的距离/mm 1530 1480 1430 1380 1330 1280 1230 1180 1130 1080 1030 温度/℃ 图 7 铸坯表面温度分布. （a） EFG (31×31 节点); （b） 有限元 (2056 单元) Fig.7 Temperature distribution of billet surface: (a) EFG (31×31nodes); (b) FEM (2056 elements) 王 宁等： 基于无网格伽辽金法的连铸坯凝固计算方法 · 191 ·
192 工程科学学报，第42卷，第2期 图8随机布点示意.(a)31×31节点：(b)45×45节点 Fig.8 Distribution of random nodes:(a)31x31 nodes;(b)45x45 nodes 算小方坯的凝固行为 为进一步分析节点随机布置的精度，分别提 图9是利用EFG法布置不同数量随机节点条 取基于EFG法和ANSYS有限元软件的距弯月面 件下的结晶器出口处铸坯表面温度计算结果.可 不同高度铸坯角部的温度值，与参考解作差值并 以看出，随机31×31节点得到的计算结果仍能保 对比，结果如表3所示.节点数目为45×45的EFG 持一定的数值的稳定性和精度，但在个别位置光 的结果精确度不仅高于31×31的有限元法，还明 滑性较差，精度略低于ANSYS均匀30×30单元的 显高于与其节点数目相近2056个单元的有限元边 数值解.与之相比，随机45×45节点模型数值解的 界加密模型的数值解精度.因此，可通过适度增加 光滑性有明显改善，与参考解吻合得较好，说明在 随机节点数目的方式来提高EFG法非规则模型数 节点有限加密的情况下，EFG法对非规则的随机 值解的精度，其结果显著优于单元数目相近的有 限元模型的计算精度. 布点的适应性较强，这种节点随机设置的方式在 基于网格模拟方法中是难以做到的， 4结论 (1)以结晶器内铸坯的传热和凝固过程为对 1300 象，建立并开发了基于EFG法的二维非稳态数值 1250 计算模型和专用计算程序 1200 (2)分别用EFG法和有限元ANSYS软件计算 1150 小方坯凝固过程，通过与细密单元的参考解对比， ANSYS3I×3I 证实EFG法计算铸坯的凝固过程时具有以下优 1100 参考解 0 随机31×31 点：相同均匀分布的单元数目下，EFG法温度计算 1050 A 随机45×45 结果的精度比有限元法高：FG法易于局部加密， 1000 0 20 406080.100120 140160 仅需少数节点即可得到比有限元法更高精确度的 与左侧角部的距离mm 数值解，适于跟踪梯度较大区域的数值变化情况： 图9结品器出口处铸坯表面温度分布 EFG法可通过适度增加随机节点的数目来提高模 Fig.9 Temperature distribution of billet surface at mold exit 拟结果的光滑性与精度，回避了网格模拟方法在 表3EFG45×45随机布点与有限元法数值解的对比 Table 3 Comparison of EFG 45x45 random nodes and FEM numerical results EFG(45×45节点) 有限元(31×31节点) 有限元加密(2056单元) 至弯月距离 温度/℃ 差值/℃ 温度℃ 差值/℃ 温度/℃ 差值/℃ 300mm 1139.51 0.50 1143.27 -3.26 1141.10 -1.09 600mm 1058.61 -0.03 1059.97 -1.39 1059.42 -0.84 结品器出口 1035.17 -0.06 1035.62 -0.51 1035.69 -0.58
算小方坯的凝固行为. 图 9 是利用 EFG 法布置不同数量随机节点条 件下的结晶器出口处铸坯表面温度计算结果. 可 以看出，随机 31×31 节点得到的计算结果仍能保 持一定的数值的稳定性和精度，但在个别位置光 滑性较差，精度略低于 ANSYS 均匀 30×30 单元的 数值解. 与之相比，随机 45×45 节点模型数值解的 光滑性有明显改善，与参考解吻合得较好，说明在 节点有限加密的情况下，EFG 法对非规则的随机 布点的适应性较强，这种节点随机设置的方式在 基于网格模拟方法中是难以做到的. 为进一步分析节点随机布置的精度，分别提 取基于 EFG 法和 ANSYS 有限元软件的距弯月面 不同高度铸坯角部的温度值，与参考解作差值并 对比，结果如表 3 所示. 节点数目为 45×45 的 EFG 的结果精确度不仅高于 31×31 的有限元法，还明 显高于与其节点数目相近 2056 个单元的有限元边 界加密模型的数值解精度. 因此，可通过适度增加 随机节点数目的方式来提高 EFG 法非规则模型数 值解的精度，其结果显著优于单元数目相近的有 限元模型的计算精度. 4 结论 （1）以结晶器内铸坯的传热和凝固过程为对 象，建立并开发了基于 EFG 法的二维非稳态数值 计算模型和专用计算程序. （2）分别用 EFG 法和有限元 ANSYS 软件计算 小方坯凝固过程，通过与细密单元的参考解对比， 证实 EFG 法计算铸坯的凝固过程时具有以下优 点：相同均匀分布的单元数目下，EFG 法温度计算 结果的精度比有限元法高；EFG 法易于局部加密， 仅需少数节点即可得到比有限元法更高精确度的 数值解，适于跟踪梯度较大区域的数值变化情况； EFG 法可通过适度增加随机节点的数目来提高模 拟结果的光滑性与精度，回避了网格模拟方法在 表 3 EFG 45×45 随机布点与有限元法数值解的对比 Table 3 Comparison of EFG 45×45 random nodes and FEM numerical results 至弯月距离 EFG (45×45节点) 有限元 (31×31节点) 有限元加密 (2056单元) 温度/℃ 差值/℃ 温度/℃ 差值/℃ 温度/℃ 差值/℃ 300 mm 1139.51 0.50 1143.27 −3.26 1141.10 −1.09 600 mm 1058.61 −0.03 1059.97 −1.39 1059.42 −0.84 结晶器出口 1035.17 −0.06 1035.62 −0.51 1035.69 −0.58 (a) (b) 图 8 随机布点示意. （a） 31×31 节点; （b） 45×45 节点 Fig.8 Distribution of random nodes: (a) 31×31 nodes; (b) 45×45 nodes 温度/℃ 与左侧角部的距离/mm 0 20 40 60 80 100 120 140 160 1300 1250 1200 1150 1100 1050 1000 ANSYS 31×31 参考解 随机 31×31 随机 45×45 图 9 结晶器出口处铸坯表面温度分布 Fig.9 Temperature distribution of billet surface at mold exit · 192 · 工程科学学报，第 42 卷，第 2 期
王宁等：基于无网格伽辽金法的连铸坯凝固计算方法 ·193· 布置非均匀网格时网格过渡区域复杂的数据传 [8]Yamasaki N.Shima S.Tsunenari K.et al.Particle-based numerical 递，在非规则随机节点设置方面显示出极大的灵 analysis of spray water flow in secondary cooling of continuous 活性 casting machines.ISI/Int,2015,55(5):976 [9] Vaghefi R,Hematiyan M R,Nayebi A.Three-dimensional thermo- (3)相比于有限元基于网格的数值模拟方法， elastoplastic analysis of thick functionally graded plates using the EFG法回避了网格依赖性，具有良好的精度和自 meshless local Petrov -Galerkin method.Eng Anal Boundary 适应性，为进一步探索坯壳重构、液固界面追踪、 Elem,2016,71:34 裂纹形成等网格模拟方法难以甚至无法处理的问 [10]Hostos J C A,Bencomo A D,Cabrera E S P.Simple iterative 题，提供了高效、可行的数值计算方法 procedure for the thermal-mechanical analysis of continuous casting processes using the element-free Galerkin method.J Therm 参考文献 Stresses,2018,41(2):160 [11]Hu P H,Wang X D,Wei JJ,et al.Investigation of liquid/solid slag [1]Jing D J,Cai KK.Numerical simulation of the coupling and air gap behavior inside the mold during continuous slab phenomenon between thermal and mechanical fields of billet in casting.ISI/Int,2018,58(5):892 continuous casting mold.JUniv SciTechnol Beijing,2000,22(5): [12]Fan Y H.A Study of Meshless Method in Numerical Heat 417 Transfer[Dissertation].Nanjing:Nanjing University of Science (荆德君，蔡开科.连铸结品器内铸坯温度场和应力场耦合过程 Technology,2005 数值模拟.北京科技大学学报，2000,22(5)：417) (范悦宏.无网格法在数值传热学中的应用研究学位论文].南 [2]Dalrymple R A,Rogers B D.Numerical modeling of water waves 京：南京理工大学，2005) with the SPH method.Coastal Eng,2006,53(2-3):141 [13]Savage J,Pritchard W H.The problem of rupture of the billet in [3]Cingoski V,Miyamoto N,Yamashita H.Element-free Galerkin the continuous casting of steel.J Iron Steel Inst,1954,178(3):269 method for electromagnetic field computations.IEEE Trans Magn, [14]Li D H,Gao Y B,Xin Q B,et al.The processing method and 1998.34(5):3236 application study for latent heat releases in alloy castings. [4]Adams B,Wicke M.Meshless approximation methods and Foundry,2004,53(12):1005 applications in physics based modeling and animation (李东辉，高云宝，辛启斌，等.铸件凝固潜热的处理方法与应用 EUROGRAPHICS 2009.Munich,2009:213 研究.铸造，2004,53(12)：1005) [5]Liu M B,Liu G R,Zong Z,et al.Computer simulation of high [15]Liu X.Meshless Method.Beijing:Science Press,2011 explosive explosion using smoothed particle hydrodynamics (刘欣.无网格方法.北京：科学出版社，2011) methodology.Compu Fluids,2003,32(3):305 [16]Belytschko T,Lu YY,Gu L.Element-free Galerkin methods.IntJ [6]Zhang L,Shen H F,Rong Y M,et al.Numerical simulation on Numer Methods Eng,1994,37(2):229 solidification and thermal stress of continuous casting billet in [17]Liu G R,Gu Y T.An Introduction to Meshfree Methods and Their mold based on meshless methods.Mater Sci Eng A,2007,466(1- Programming.Dordrecht:Springer,2005 2):71 [18]Wu S C.Liu G R.Cui X Y,et al.An edge-based smoothed point [7]Vertnik R,Sarler B.Solution of a continuous casting of steel interpolation method (ES-PIM)for heat transfer analysis of rapid benchmark test by a meshless method.Eng Anal Boundary Elem, manufacturing system.Int Heat Mass Transfer,2010,53(9-10): 2014,45:45 1938
布置非均匀网格时网格过渡区域复杂的数据传 递，在非规则随机节点设置方面显示出极大的灵 活性. （3）相比于有限元基于网格的数值模拟方法， EFG 法回避了网格依赖性，具有良好的精度和自 适应性，为进一步探索坯壳重构、液/固界面追踪、 裂纹形成等网格模拟方法难以甚至无法处理的问 题，提供了高效、可行的数值计算方法. 参 考 文 献 Jing D J, Cai K K. Numerical simulation of the coupling phenomenon between thermal and mechanical fields of billet in continuous casting mold. J Univ Sci Technol Beijing, 2000, 22（5）: 417 （荆德君, 蔡开科. 连铸结晶器内铸坯温度场和应力场耦合过程 数值模拟. 北京科技大学学报, 2000, 22（5）：417 ） [1] Dalrymple R A, Rogers B D. Numerical modeling of water waves with the SPH method. Coastal Eng, 2006, 53（2-3）: 141 [2] Cingoski V, Miyamoto N, Yamashita H. Element-free Galerkin method for electromagnetic field computations. IEEE Trans Magn, 1998, 34（5）: 3236 [3] Adams B, Wicke M. Meshless approximation methods and applications in physics based modeling and animation // EUROGRAPHICS 2009. Munich, 2009: 213 [4] Liu M B, Liu G R, Zong Z, et al. Computer simulation of high explosive explosion using smoothed particle hydrodynamics methodology. Comput Fluids, 2003, 32（3）: 305 [5] Zhang L, Shen H F, Rong Y M, et al. Numerical simulation on solidification and thermal stress of continuous casting billet in mold based on meshless methods. Mater Sci Eng A, 2007, 466（1- 2）: 71 [6] Vertnik R, Šarler B. Solution of a continuous casting of steel benchmark test by a meshless method. Eng Anal Boundary Elem, 2014, 45: 45 [7] Yamasaki N, Shima S, Tsunenari K, et al. Particle-based numerical analysis of spray water flow in secondary cooling of continuous casting machines. ISIJ Int, 2015, 55（5）: 976 [8] Vaghefi R, Hematiyan M R, Nayebi A. Three-dimensional thermoelastoplastic analysis of thick functionally graded plates using the meshless local Petrov - Galerkin method. Eng Anal Boundary Elem, 2016, 71: 34 [9] Hostos J C Á, Bencomo A D, Cabrera E S P. Simple iterative procedure for the thermal-mechanical analysis of continuous casting processes using the element-free Galerkin method. J Therm Stresses, 2018, 41（2）: 160 [10] Hu P H, Wang X D, Wei J J, et al. Investigation of liquid/solid slag and air gap behavior inside the mold during continuous slab casting. ISIJ Int, 2018, 58（5）: 892 [11] Fan Y H. A Study of Meshless Method in Numerical Heat Transfer[Dissertation]. Nanjing: Nanjing University of Science & Technology, 2005 （范悦宏. 无网格法在数值传热学中的应用研究[学位论文]. 南 京: 南京理工大学, 2005） [12] Savage J, Pritchard W H. The problem of rupture of the billet in the continuous casting of steel. J Iron Steel Inst, 1954, 178（3）: 269 [13] Li D H, Gao Y B, Xin Q B, et al. The processing method and application study for latent heat releases in alloy castings. Foundry, 2004, 53（12）: 1005 （李东辉, 高云宝, 辛启斌, 等. 铸件凝固潜热的处理方法与应用 研究. 铸造, 2004, 53（12）：1005 ） [14] Liu X. Meshless Method. Beijing: Science Press, 2011 （刘欣. 无网格方法. 北京: 科学出版社, 2011） [15] Belytschko T, Lu Y Y, Gu L. Element-free Galerkin methods. Int J Numer Methods Eng, 1994, 37（2）: 229 [16] Liu G R, Gu Y T. An Introduction to Meshfree Methods and Their Programming. Dordrecht: Springer, 2005 [17] Wu S C, Liu G R, Cui X Y, et al. An edge-based smoothed point interpolation method (ES-PIM) for heat transfer analysis of rapid manufacturing system. Int J Heat Mass Transfer, 2010, 53（9-10）: 1938 [18] 王 宁等： 基于无网格伽辽金法的连铸坯凝固计算方法 · 193 ·