(4)j(x+y)t+(3x+y0+,其中L是曲线x=asm2t,y=2 asin cost, z=acos2t(a>0),其方向按参数t从0到x的方向。 3.设∫是具有连续导数的一元函数,计算 dyd=+-f=dxdx+=dxdy 其中∑是曲面y=x2+2和y=8-x2-2所围立体的外侧。 计算第二类曲面积分1=2++2,其中Σ为球面 3(ax2+by2+c2)2 x2+y2+z2=1的外侧(a,b,c均为正常数)。 5.已知流体的速度场为v=(2x-2)+x2y-x2k,求流体通过正方体 Ω={(x,y,z)|0≤x≤a,0≤y≤a,0≤x≤a}全表面的外侧的流量 §8场论 1.求向量场v=(3x2z+2y)+(y2-3x)+3zk的散度和旋度。 2.证明:若函数u具有二阶连续偏导数,则rot( gradu)=0。 3.设二元函数厂在R上可微,且满足lmn(xy=+。证明:对于任何 向量v=(a,b),存在(x0,y)∈R2,使得 gradf(x0,y)=p 4.证明向量场F=(x2-2y)i+(y2-2x)j+(x2-2x)k是是R3上的势量场,并 求它的势函数 5.设∑为光滑封闭曲面,且原点不在∑的边界上。记n为Σ上点(x,y,)处的单 位外法向量,r=x+y+k,求1==("△,其中r=x2+y2+2,(n) 为r与n的夹角。 6.设二元函数u在R2上具有二阶连续偏导数。证明u是调和函数的充要条件为: 对于R2中任意光滑封闭曲线C,成立∫=0,其中为沿C的外法线方向 的方向导数（4）      L (x y)dx (3x y)dy zdz ，其中 L 是曲线 x a t 2  sin ， y  2asint cost ， z a t 2  cos （ a  0 ），其方向按参数 t 从 0 到  的方向。 3.设 f 是具有连续导数的一元函数，计算                     dzdx zdxdy y x f x dydz y x f y 1 1 ， 其中  是曲面 2 2 y  x  z 和 2 2 y  8  x  z 所围立体的外侧。 4 ． 计 算 第 二 类 曲 面 积 分        2 3 2 2 2 (ax by cz ) xdydz ydzdx zdxdy I ，其中  为球面 1 2 2 2 x  y  z  的外侧（ a, b, c 均为正常数）。 5 ． 已 知 流 体 的 速 度 场 为 v i j k 2 2  (2x  z)  x y  xz ， 求 流 体 通 过 正 方 体  {(x, y,z) | 0  x  a, 0  y  a, 0  z  a} 全表面的外侧的流量。 §8 场论 1. 求向量场 v (3x z 2y)i (y 3xz) j 3xyzk 2 2      的散度和旋度。 2. 证明：若函数 u 具有二阶连续偏导数，则 rot(gradu)  0。 3．设二元函数 f 在 2 R 上可微，且满足      2 2 | ( , ) | 2 lim 2 x y f x y x y 。证明：对于任何 向量 v  (a, b) ，存在 2 0 0 (x , y )R ，使得 ( , )  v 0 0 gradf x y 。 4．证明向量场 F ( 2 )i ( 2 ) j ( 2 )k 2 2 2  x  yz  y  xz  z  xy 是是 3 R 上的势量场，并 求它的势函数。 5．设  为光滑封闭曲面，且原点不在  的边界上。记 n 为  上点 (x, y,z) 处的单 位外法向量， r  xi  yj  zk ，求 dS r I    2 cos(r, n) ，其中 2 2 2 r  x  y  z ，(r, n) 为 r 与 n 的夹角。 6．设二元函数 u 在 2 R 上具有二阶连续偏导数。证明 u 是调和函数的充要条件为： 对于 2 R 中任意光滑封闭曲线 C ，成立  0    C ds n u ，其中 n u   为沿 C 的外法线方向 的方向导数