第七章实数的完备性 (1)1+(-1)};(2)(-1)°n; (3){2n+1};(4) (5){snx};(6){4/1cos| 解记原数列为{xn} (1)由于limx2k-1=0, lim xk=2,从而对任给正数e,存在自然数 N,当k>N时,有 <0+E,2-E< 可见小于0+e的xn有无限项,大于2-c的也有无限项,又没有一项x 使得xn<0-E或xn>2+e,故由定义可知 li O, limx =2 注:一般地,若P为自然数,且 imx=Au,imxp1=At…,{mxpp:=A,1存在, 则 事实上,对任一正数e,存在自然数N,使得当k>N时 A-E<x+<A+e(=0,1 设minA,A1,…,Apl=A,则小于A+E的xn有无限项若对某 个正数e,数列{xa}中小于A-E的有无穷项,设它们是 其中n<n<…<n,…,由于自然数集N可分为有限个子集 lpk∈N,lp+1k∈N,…,{k+p-1|k∈N 且n有无限个,从而以上P个子集中,必有一个(设为第j个)含有 无限个n,因而 j(1=1,2,…) 是mx={mx叫=A可见 ≤A-E<A