§3上极限和下极限 x"|<8时,有f(x)-f(x")|<ε,于是对一切xx"∈(0,+∞)当 1x-x|<6时,必有x,x"同属于上述区间中的一个,但都有|f(x) f(x")1<e,故f在(0,+∞)上一致连续 4.试用有限覆盖定理证明根的存在性定理 证设f在[a,b]上连续,且f(a),f(b)异号,不妨设f(a)<0,f(b) >0,假设在(a,b)内没有f(x)=0的根,即对每一个x∈(a,b),都有 f(x)≠0,从而对一切x∈[a,b],有f(x)≠0,由连续性,对每一个x∈ a,b]存在8>0,使得f在U(x,83)∩[a,b]上同号,而 H={U(x,82)|x∈[a,b] 是[a,b]的一个开覆盖,由覆盖定理知在H中必存在有限个开邻域 也构成[a,b]的一个开覆盖,设a∈U(x3)(k为1,2,…,n中某 个),由Ux,3)的原意,在U(x,x)∩[ab1内同号,故x∈U(x 6)∩a,b]时,有(x)<0,因H覆盖了[a,b],所以f在[a,b]上恒负, 从而f(b)<0,与题设条件fb)>0相矛盾.于是在(a,b)内至少存在 点x,使得f(x)=0 5.证明:在(a,b)上连续函数f为一致连续的充要条件是f(a+0)、 f(b-0)存在且有限 证必要性设f在(a,b)一致连续,即对任给正数e,存在8> ,当x,x"∈(a,b)且1x-x"<8时,有|f(x)-f(x")1<e,特别 0 当x,x∈(a,a+8)时,有1x-x"1<8,从而也有f(x)-f(x)|< e,由函数极限的柯西准则知f(a+0)存在且为有限值,同理可证f(b 0)存在且为有限值 充分性设f在(a,b)连续,且f(a+0),f(b-0)存在并为有限值 补充定义:(a)=f(a+0),f(b)=f(b-0),使得f在[a,b]上连续,从 而一致连续,因此f在(a,b)上一致连续 83上极限和下极限 1.求下列数列的上、下极限: