第九讲矩阵微分方程 矩阵的微分和积分 1.矩阵导数定义:若矩阵A(t)=(a(t)2的每一个元素a1(t)是变量t的 可微函数,则称A(t)可微,其导数定义为 A(t)=(-) dt 由此出发,函数可以定义高阶导数,类似地,又可以定义偏导数。 2.矩阵导数性质:若A(t),B(t)是两个可进行相应运算的可徽矩阵,则 1)A(t)±B(=±B dt dt (2).[A(t)B(t)=dA.dB d dt (3)[a(t)A(t)]=,A+a dt (4)(0)M0%(),tin(4)at (A与t无关) 此处仅对(0)=Ae=A加以证明 证:(")=(+t+1t42+1t+)=A+t+2+1+A+ A(H+A+t2A2+…)=Ae 又=(+4++2+)A=6A 3矩阵积分定义:若矩阵A(t)=(4,)的每个元素a(t)都是区间 [tt上的可积函数则称A(t在区间[t,t]上可积,并定义A(t)在tt]第九讲 矩阵微分方程 一、矩阵的微分和积分 1. 矩阵导数定义：若矩阵 ij m×n A(t)=(a (t)) 的每一个元素 a (t) ij 是变量 t 的 可微函数，则称 A(t)可微，其导数定义为  ij m×n dA da = A (t)=( ) dt dt 由此出发，函数可以定义高阶导数，类似地，又可以定义偏导数。 2. 矩阵导数性质：若 A(t),B(t)是两个可进行相应运算的可微矩阵，则 （1） d dA dB [A(t)±B(t)]= ± dt dt dt （2） d dA dB [A(t)B(t)]= B + A dt dt dt （3） d da dA [a(t)A(t)]= A + a dt dt dt （4） ( ) ( ( )) ( ) ( ( )) ( ) d d d tA tA tA e = Ae = e A cos tA = -Asin tA sin tA = Acos tA dt dt dt (A 与 t 无关) 此处仅对 d tA tA tA (e )= Ae = e A dt 加以证明 证： d d 1 1 1 tA 2 2 3 3 2 2 3 (e )= (I+ tA + t A + t A + )= A + tA + t A + dt dt 2! 3! 2! 1 2 2 tA = A(I+ tA + t A + )= Ae 2! 又 1 2 2 tA =(I+ tA + t A + )A = e A 2! 3. 矩阵积分定义：若矩阵 A(t)=(a (t)) ij m×n 的每个元素 ij a (t) 都是区间 0 1 [t ,t ] 上的可积函数，则称A(t)在区间 0 1 [t ,t ] 上可积，并定义A(t)在 0 1 [t ,t ]