4、解 G+∫S+x(3分)32=n++(x+y)2+xy2(3 分) 5、解:lm y y 1,(3分)lim x-y=lim 1(3分) y-90x-0x+y) 三、1、解:由于 In cos (6分),又收敛(2分) 所以原级数收敛(2分) 2、解:当|xk1时,有 x,所以级数绝对收敛(4分), 当|x}1时 原级数发散(2分) 当xp1时,有21+x=,1,由上讨论知级数绝对收效(4分) 四、证明题(每小题10分,共30分) 1、证明:Jf(x)=f(x)+∫。/(x)(1)(4分) (x)x=-。(-0d(-)=-J。()t(2)(4分) 将式(2)代入(1)得证(2分) 2、证明:所给级数的收敛域为(-∞+∞),在收敛域内逐项微分之,得 4n-3 4n-4 (8分)代入得 证(2分) 3、证明:必要性若S为闭集,由于S的一切聚点都属于S,因为,对于任意的x∈S x不是S的聚点,也就是说,存在x的邻域O(x,O)使得O(x,)∩S≠p,即O(x,δ)cS 因此S是开集 充分性对任意的x∈S,由于S是开集,因此存在x的邻域O(x,6)使得O(x,)cS 即x不是S的聚点。所以如果S有聚点,它就一定属于S. 量,求证:10 4、解： x z   = f f y 1 + 2 y z   = f f x 1 + 2 （3 分） 11 2 12 22 2 f f (x y) f xyf x y z = + + + +    （3 分） 5、解： lim lim 1 0 0 0 = − − = + − → → → y y x y x y x y y ，（3 分） lim lim 1 0 0 0 = = + − → → → x x x y x y y x y （3 分） 三、1、解：由于 2 2 2 ln cos ~ n n   （6 分），又   =1 2 1 n n 收敛（2 分） 所以原级数收敛（2 分） 2、解：当 | x | 1 时，有 n x n x x x | | 1 2  + ，所以级数绝对收敛（4 分）， 当 | x |= 1 时， 2 1 1 2 = + x n x x ，原级数发散（2 分） 当 | x | 1 时，有    =  = + = 1 + 1 2 2 ) 1 1 ( ) 1 ( n 1 n n n n n x x x x ，由上讨论知级数绝对收敛（4 分） 四、证明题（每小题 10 分，共 30 分） 1、证明：    = + − − a a a a f x dx f x dx f x dx 0 0 ( ) ( ) ( ) （1）（4 分）    = − − − = − − a a a f x dxx t f t d t f t dt 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) （2）（4 分） 将式（2）代入（1）得证（2 分） 2 、 证 明 ： 所 给 级 数 的 收 敛 域 为 (−,+) ， 在 收 敛 域 内 逐 项 微 分 之 ， 得   = − − = 1 4 1 ' (4 1)! n n n x y   = − − = 1 4 2 '' (4 2)! n n n x y   = − − = 1 4 3 ''' (4 3)! n n n x y   = − − = 1 4 4 (4) (4 4)! n n n x y （8 分）代入得 证（2 分） 3、证明：必要性 若 S 为闭集，由于 S 的一切聚点都属于 S，因为，对于任意的 c x  S 。 x 不是 S 的聚点，也就是说，存在 x 的邻域 O(x, ) 使得 O(x, )  S   ，即 c O(x, )  S ， 因此 S c 是开集。 充分性 对任意的 c x  S ，由于 S c 是开集，因此存在 x 的邻域 O(x, ) 使得 c O(x, )  S ， 即 x 不是 S 的聚点。所以如果 S 有聚点，它就一定属于 S. 量，求证：