第12讲向量的内积与向量组交化的一般方法61 第12讲向量的内积与向量组 正交化的一般方法。 内积 设g 0=(,则定义a与B的内积为(,1=aB=(a,4…01 a1b1+a2b2+…+ab,向量的长度为‖l‖=√a+a2+…+a 若内积a,B]=∑ab=0,则称a与B正交,内积具有性质:①a,B]=[p,g];②a =0=[a,a]=0;③a,B+y]=[a,B]+[a,y] 二、施密特( Schmidt)正交化方法 设a1,a,…,a,为R"中一组线性无关的向量,令B1=a, B2 B1; B.=a.-(a B-ll B B.1,B 则B1,B2,…,B相互正交 三、规范正交基 设ax1,a2,…,an为R中一组基,先将其正交化得B1,B2,…,B,再将其单位化得n1= T1,n=TB2T…,n=TB.T,则m,,…,n满足(n,n)=0,≠j,n 1(i,j,=1,2,…,n),称其为R”中的一组规范正交基 例1试求下列向量组的内积,并将每个向量单位化 (1)a1=(2,1,0,2),a2=(1,2,-2,1)2; (2)a=(4,-1,3,0),阝=(3,-1,4,-2) 解由内积定义 (1)[a1,a2]=a1a2=2×1+1×2+0×(-2)+2×1=6