(5)0 00 001 010 (7)000 200100 0 1+2v6 0 00 1-26 0100 0 0100 011 (10) 00-11 000 000-1 (11)diag(1,e1,e2,…,En-1),1,∈1,E2,…,En-1是xn-1的m个根; 011 (12) 11 00 2.设矩阵 200 a20 (1)矩阵A可能有怎样的若尔当典范形? (2)试确定A可对角化的条件 解:(1)A仅有一个特征值λ=2,所以A的若尔当块的块数=A的初等因子的个数=rank(M0E 1)(参见习题12-4.5)而 2当ac≠0 rank(A0E-A)={1当ac中一个等于0,另一个不等于0,或ac都是0,但b≠0时, 0当a=b=c=0时 因此当aC≠0时,A的若尔当典范形是021|;当a,c中一个等于0,另一个不等于0,或a,c都是0 002 200 但b≠0时,A的若尔当典范形是021;当a=b=c=0时,A的若尔当典范形是020 (2)A可对角化→a=b=c=0 3.设矩阵A的特征多项式 X4(A)=A5+4-53-12+81-4 试求出A所有可能的若尔当典范形 解:xA(A)=(A-1)3(X+2)2,因此A的可能的初等因子为 (a)A-1,A-1,A-1,A+2,A+2; (b)(X-1)2,A-1,A+2,A+2 (c)(A-1)3,x+2,A+ (d)-1,A-1,A-1,(+2)2; (e)(A-1)2,A-1,((5)   1 1 0 0 1 1 0 0 1  ; (6)   2 0 0 0 0 0 0 0 0  ; (7)   0 1 0 0 0 0 0 0 0  ; (8)   1 0 0 0 1 + 2√ 6 0 0 0 1 − 2 √ 6  ; (9)   1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1   ; (10)   1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 −1 1 0 0 0 −1   ; (11) diag(1, ε1, ε2, · · · , εn−1), 1, ε1, ε2, · · · , εn−1 # x n − 1  n k8; (12)   1 1 0 · · · 0 0 1 1 · · · 0 . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 · · · 1 1 0 0 · · · 0 1   . 2. !" A =   2 0 0 a 2 0 b c 2   . (1) !" A 3T&? (2) >DY A 3@ABFG. P: (1) AC&jkλ0 = 2, HAmm(= Ak(= rank(λ0E − A) ( Ei 12–4.5) k rank(λ0E − A) =    2  ac 6= 0, 1  a, c wjkL 0, jk L 0,  a, c x# 0, h b 6= 0 R, 0  a = b = c = 0 R. a ac 6= 0 R, A #   2 1 0 0 2 1 0 0 2  ;  a, c wjkL 0, jk L 0,  a, c x# 0, h b 6= 0 R, A #   2 0 0 0 2 1 0 0 2  ;  a = b = c = 0 R, A #   2 0 0 0 2 0 0 0 2  . (2) A 3@AB ⇐⇒ a = b = c = 0. 3. !" A  χA(λ) = λ 5 + λ 4 − 5λ 3 − λ 2 + 8λ − 4. > A &3T. P: χA(λ) = (λ − 1)3 (λ + 2)2 , a A 3Tl: (a) λ − 1, λ − 1, λ − 1, λ + 2, λ + 2; (b) (λ − 1)2 , λ − 1, λ + 2, λ + 2; (c) (λ − 1)3 , λ + 2, λ + 2; (d) λ − 1, λ − 1, λ − 1,(λ + 2)2 ; (e) (λ − 1)2 , λ − 1,(λ + 2)2 ; · 8 ·