89.3 Laplace变换的反演 象函数的导数的反演设∫(t)满足 Laplace变换存在的充分条件,f(t)F(p),则F(p)在 ep≥s1>so的半平面中解析,因而可以在积分号下求导 dpn/ f(t)e-pt dt (t)"f(t)ep dt 所以 F(n)(p)=(-t)f(t) 根据这个公式,可以容易地得到 d 1 1d211 2 dn2 若F(p)是有理函数,则总可以通过部分分式求反演.例如 (+a)=a7-a严+ap-ap+a 1 +一t+ 象函数的积分的反演如果/F(q)dq存在①,且当t→0时,Jf(t)/t有界,则 F( dg= f) 证将F(q)的表达式代入,并交换积分次序 F(adq f(te dt f(t)dt/eqt dq a 关于交换积分次序的合法性的讨论,见参考书目[1].口 利用这个公式,又可以得到许多函数的 Laplace变换.例如 ①这里的积分上限应了解为Rep→+∞,并且积分路径在F(p)的解析区域内,因而积分与路径无关￾✁✂ Laplace ✄ ☎ ✆ 7 ✝ §9.3 Laplace éêë➏➐ ✈ ✳✴➌✵✴➌✇⑦ ✶ f(t) ➛➜ Laplace ❘▼⑥⑦❋☛ ❫ st✹ f(t) ; F(p) ✹ õ F(p) ⑦ Re p ≥ s1 > s0 ❋✎✏✑ ➙ ✕✖✹Ý✍❸❹⑦①❫➑ äÔ➒ F (n) (p) = d n dp n Z ∞ 0 f(t) e−pt dt = Z ∞ 0 (−t) n f(t) e−pt dt. ❾❹ F (n) (p) : (−t) nf(t). ✐❥❉Ò➓ ◆✹❸❹➔→➣➎Ñ 1 p 2 = − d dp 1 p : t, 1 p 3 = 1 2 d 2 dp 2 1 p : 1 2 t 2 . ô F(p) ●❬✮❛ ■✹õ↔ ❸❹❚ q↕❫❫◆Ô➌➍✚ ❷Õ 1 p 3(p + α) = 1 α 1 p 3 − 1 α2 1 p 2 + 1 α3 1 p − 1 α3 1 p + α : 1 2α t 2 + 1 α2 t + 1 α3 − 1 α3 e −αt . ✈ ✳✴➌❄❅➌✇⑦ ÕÖ Z ∞ p F(q) dq ⑥⑦ ✯ ✹➙➁ t → 0 ❭✹ |f(t)/t| ❬ å ✹ õ Z ∞ p F(q) dq : f(t) t . (F) ✧ ➛ F(q) ❋✔➜◆ ✓➝✹Ú➞▼①❫➟➠ Z ∞ p F(q) dq = Z ∞ p dq Z ∞ 0 f(t) e−qt dt = Z ∞ 0 f(t) dt Z ∞ p e −qt dq = Z ∞ 0 f(t) t e −pt dt, ➃❽➞▼①❫➟➠❋ ã➡➁❋➢➤✹❜➥➦➧ ➨ [1] ✚ ➉➊❉Ò➓ ◆✹➩❸❹➎Ñ➫→ ❛ ■ ❋ Laplace ❘▼✚❷Õ sin ωt t ; Z ∞ p ω q 2 + ω2 dq = π 2 − arctan p ω . ✯ ➭➯❑➲❳❲➳➵➸➺➻ Re p → +∞ ❭➼➽➲❳➾➚❚ F(p) ❑➺➪❯➶▲❭➹➘➲❳➴➾➚➷➬➮