9.3 Laplace变换的反演 特别是,如果p→0时,(★)式两端的积分均存在,则有 F(p)dp 利用这个结果,可以计算2出型的积分、侧如 这个积分曾经应用留数定理计算过.这里的计算更为简便 有些积分无法用留数定理计算,但却可以用这个办法计算.例如 1 2p2+b2 Inb-Ina, a>0,b>0. 象函数在∞点解析的情形如果F(p)可以由半平面Rep>s0(单值地)解析延拓到含有p=∝ 点在内的一定区域内,且在P=∞点解析,这样,函数F(p)就可以在p=∞点作 Taylor展开 F(p) 级数中不含n=0项,是因为F(p)作为 Laplace换式,应当满足Rep→+∞时F(p)→0 的要求 将级数逐项求反演,就得到 f()=∑ 这种作法的合法性在于要证明此级数收敛,从而确认f(t)=F(p).为此作圆周CR: =R,在CR外无F(p)的奇点, F(P 因为p=∞是F()的零点,所以 F(p)I R > 因之,|n|<MRn-1.由此可以得到 ∑过MF=M n=0 故级数收敛,这里同时也证明了∫(t)具有有限的增长指数,因而它的 Laplace变换存 在.口§9.3 Laplace ✄☎★➱✃ ✆ 8 ✝ ❐ ❴●✹ÕÖ p → 0 ❭✹ (F) ◆❒❮❋ ①❫❰⑥⑦✹õ ❬ Z ∞ 0 F(p) dp = Z ∞ 0 f(t) t dt. ➉➊❉Ò➋Ö ✹❸❹ÏÐ Z ∞ 0 f(t) t dt Ñ ❋ ①❫✚❷Õ Z ∞ 0 sin t t dt = Z ∞ 0 1 p 2 + 1 dp = π 2 . ➸ö✘✙ ÒÓ✮✔ Ô ✜ ✳ ✥Õ ✁ÿ✚➸Ö ✕ Õ ✁×❦ ✍Ø✚ ❬Ù①❫Ú➡➊ Û■Ù✮ÏÐ✹ ➀Ü❸❹➊❉ÒÝ ➡ÏÐ✚ ❷Õ Z ∞ 0 cos at − cos bt t dt = Z ∞ 0  p p 2 + a 2 − p p 2 + b 2  dp = 1 2 ln p 2 + a 2 p 2 + b 2     ∞ 0 = ln b − ln a, a > 0, b > 0. ✈ ✳✴➋ ∞ Þ✠✡➌ßà ÕÖ F(p) ❸❹ ❼✎✏✑ Re p > s0(áâ➣) ✕✖ãäÑå❬ p = ∞ æ ⑦ ✒❋❰Ùçè ✒ ✹➙⑦ p = ∞ æ✕✖✹ ❉ ⑨✹❛ ■ F(p) r❸❹⑦ p = ∞ æé Taylor êë F(p) = X∞ n=1 cn p −n . ì✜ ✪þí n = 0 î✹✒ ý❦ F(p) ï ❦ Laplace ✌❷✹✮ ♥ð✃ Re p → +∞ ♦ F(p) → 0 ✕ ❞✣ ✚ ➛ñ■òóÔ➌➍✹r➎Ñ f(t) = X∞ n=0 cn+1 n! t n . ➸ ✗ï❂✕ô❂✷ ✛➘❞õ ❢✸ì✜ ✚✛✹ú➫✙ö f(t) ; F(p) ✚ ❦✸ ï ÷ø CR : |p| = R ✹ ✛ CR ➦ù F(p) ✕ú ➥ ✹ cn = 1 2π i I CR F(p) p n−1 dp. ý❦ p = ∞ ✒ F(p) ✕û ➥ ✹ ❊ ✺ |F(p)| < M R , ♥|p| > R, ýü ✹ |cn| < MRn−1 ✚ý ✸  ✗ ✺ûü     X∞ n=0 cn+1 n! t n      ≤ X∞ n=0 |cn+1| n! |t| n < M X∞ n=0 1 n! R n |t| n = Me R|t| , þì✜ ✚✛✚ ➸Ö ÿ ♦￾ õ ❢ ➠ f(t) ✁ ✫✫➵✕➻➼➽✜ ✹ ý ➫ ✻ ✕ Laplace ☞✌➚ ✛ ✚