2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 对函数的有界性,后面还将给出其他情况下的一些描述。这类描述是重要的 1.2.2复合函数 函数的常见表达形式包括显函数表达式,隐函数表达式,以及参数表达式。其中核心 问题是复合函数的概念。复合函数实质上是一种链锁函数关系。 定义1.7设X,Y,UcR,复合函数关系是指 ∫:U→Y,即y=∫(u),g:X→U,即u=g(x) 这里称y=∫(g(x)为x的复合函数 般讲,=g(x)的值域为y=∫(u)定义域的一个非空子集,在特定情况下 l=g(x)的值域恰为y=∫(u)的定义域。 例1.1证明对任意实数x∈(0,),有sin(sinx)<sinx 2 【证】显然当x∈(0,。)时,有0<sinx<1<,由不等式(3),即有本题不等式 例1.2设1= n(sinx),12= acos(sin.)d,则(A) (A)l1<1<12。(B)1>1>12。(0)l1=l2。(D)1>l2>1 x2’snx<x,且sinx为增函数,于是 【解】当x∈(0, 1,=Esin(sinxyx<asin xdx= 又因为cosx为减函数,则有 l2=J2 cos(sin x>2cosx=1>1因此l<1<l,选(A) 注:许多考生在考试中的失误,大都属于基础知识的不扎实 1.2.3隐函数与反函数 定义18设方程F(x,y)=0在平面上某邻域N{x,y),8}内满足一定的正则条件(参 见多元函数的内容),则可以确定函数关系y=y(x),使得F(x,y(x))≡0,这时称 y=y(x)为在某邻域N{xnyn,8}内由F(x,y)=0确定的的隐函数 X-Y平面上点(xn,y)的δ邻域N{(xn,J),谷}系指平面点集 Nx,yn,}=x,y)∈2kx-x,)+(y-n)2<a,>0} 例如,园的方程x2+y2-1=0在圆周x2+y2=1上除去两点(-1,0)与(1,0)之外的 刘坤林编水木艾迪考研培训网 网址:www.tsinghuatutor.com电话823788052008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 对函数的有界性，后面还将给出其他情况下的一些描述。这类描述是重要的。 1.2.2 复合函数 函数的常见表达形式包括显函数表达式，隐函数表达式，以及参数表达式。其中核心 问题是复合函数的概念。复合函数实质上是一种链锁函数关系。 定义 1.7 设 X,Y ,U ⊂ R ，复合函数关系是指 f : U → Y ，即 y = f (u)， g : X → U ，即 u = g( x) 这里称 y = f (g( x)) 为 x 的复合函数。 一般讲， u = g( x) 的值域为 y = f (u) 定义域的一个非空子集，在特定情况下， u = g( x) 的值域恰为 y = f (u)的定义域。 例 1.1 证明对任意实数 ( , ) 2 0 π x ∈ ，有sin(sin x) < sin x 。 【证】显然当 ( , ) 2 0 π x ∈ 时，有 2 0 1 π < sin x < < ，由不等式（3），即有本题不等式。 例 1.2 设 I x dx ∫ π = 2 0 1 sin(sin ) ， I x dx ∫ π = 2 0 2 cos(sin ) ，则 ( A ). （A） I1 < 1 < I 2。（B） I1 > 1 > I 2 。（C） 1 2 I = I 。（D） 1. I1 > I 2 > 【解】 当 ) 2 (0, π x ∈ ，sin x < x，且sin x 为增函数，于是 I x dx ∫ = 2 0 1 sin(sin ) π sin 1 2 0 < = ∫ xdx π 。 又因为cos x为减函数，则有 I x dx ∫ = 2 0 2 cos(sin ) π 1 2 0 > cos xdx = 1 > I ∫ π 。因此 1 2 I < 1 < I ，选(A)。 注：许多考生在考试中的失误，大都属于基础知识的不扎实。 1.2.3 隐函数与反函数 定义 1.8 设方程 F(x, y) = 0 在平面上某邻域 N{(x0 , y0 ),δ }内满足一定的正则条件（参 见多元函数的内容），则可以确定函数关系 y = y( x) ，使得 ，这时称 为在某邻域 F(x, y( x)) ≡ 0 y = y( x) N{ } (x0 , y0 ),δ 内由 F(x, y) = 0 确定的的隐函数。 X −Y 平面上点(x0 , y0 ) 的δ 邻域 N{(x0 , y0 ),δ }系指平面点集： { } { 0} 2 2 0 2 0 2 N ( x0 , y0 ),δ = ( x, y)∈ R ( x − x ) + ( y − y ) < δ ,δ > 例如，园的方程 1 0在圆周 上除去两点 2 2 x + y − = 1 2 2 x + y = (−1,0)与(1,0) 之外的 刘坤林 编 水木艾迪考研培训网 网址：4 www.tsinghuatutor.com 电话 82378805