第五讲无穷级数(续) 35.1幂级数 幂级数通常是指通项为幂函数的函数项级数 ∑n(z-a)2=m+(z-a)+c(2-a)2+…+cn(z-a)2+ 这是一种特殊形式的函数项级数,也是最基本、最常用的一种函数项级数. 定理51Abel(第一)定理如果级数∑cn(x-a)在某点x0收敛,则在以a点为圆心 20-a|为半径的圆内绝对收敛,而在|z-a|≤r(r<|20-a)中一致收敛. 证因为∑cn(z-a)在z收敛,故一定满足必要条件 lim cn(20-a)=0 因此存在正数q,使cn(z0-a)<q.所以 n(2-ao)=n(20-a)12二a<q2-a 因为5-0<1即|-4<|a-l时,立二4收敛故 =0|20 (z-a)”在圆|2-a<|0-a内绝对收敛 而当|z-a≤r<|20-a时 cn(z-a)"|≤q 常数项级数 收敛,故 (2-a)”在圆|z-a≤r(r<|0-4中一致收敛 推论若级数∑c1(z-a)在某点x1发散,则在圆|2-=|1-al外处处发散 证用反证法.若级数∑c1(2-0在圆|2-=121-al外某一点2收敛,则按Abl定 理,级数必然在圆|2-a=|22-|(2-a>121-a)内收敛,与原设矛盾.故级数∑cn(z-a)2 在圆|z-a|=|21-a外处处发散.口Wu Chong-shi ￾✁✂ ✄ ☎ ✆ ✝ (✞) ✟ 1 ✠ ✡☛☞ ✌ ✍ ✎ ✏ (✑) §5.1 ✒ ✓ ✔ ✕✖✗✘✙✚✛✘✜✢✕✣✗✤✣✗✜✖✗✥ X∞ n=0 cn(z − a) n = c0 + c1(z − a) + c2(z − a) 2 + · · · + cn(z − a) n + · · · . ✦✚✧★✩✪✫✬✤✣✗✜✖✗✥✭✚✮✯✰✱✮✙✲✤✧★✣✗✜✖✗✳ ✴✵ 5.1 Abel(✶✷) ✴✵ ✸✹✖✗ P∞ n=0 cn(z − a) n ✺✻✼ z0 ✽✾✥✿✺❀ a ✼✢ ❁❂✥ |z0 − a| ✢❃❄✤ ❁❅❆❇✽✾✥❈✺ |z − a| ≤ r(r < |z0 − a|) ❉ ✧❊✽✾✳ ❋ ●✢ P∞ n=0 cn(z − a) n ✺ z0 ✽✾✥❍✧■❏❑▲▼◆❖ limn→∞ cn(z0 − a) n = 0. ●P◗✺❘✗ q ✥❙ |cn(z0 − a) n| < q ✳❚❀✥ |cn(z − a) n | = |cn(z0 − a) n | ·     z − a z0 − a     n < q     z − a z0 − a     n . ●✢     z − a z0 − a     < 1 ❯ |z − a| < |z0 − a| ❱ ✥ P∞ n=0     z − a z0 − a     n ✽✾✥❍ X∞ n=0 cn(z − a) n ✺ ❁ |z − a| < |z0 − a| ❅❆❇✽✾✳ ❈❲ |z − a| ≤ r < |z0 − a| ❱ ✥ |cn(z − a) n | ≤ q r n |z0 − a| n , ✙✗✜✖✗ P∞ n=0 r n |z0 − a| n ✽✾✥❍ X∞ n=0 cn(z − a) n ✺ ❁ |z − a| ≤ r (r < |z0 − a|) ❉ ✧❊✽✾✳ ❳❨ ❩✖✗ P∞ n=0 cn(z − a) n ✺✻✼ z1 ❬❭✥✿✺ ❁ |z − a| = |z1 − a| ❪❫❫❬❭✳ ❋ ✲❴❵❛✳❩✖✗ P∞ n=0 cn(z − a) n ✺ ❁ |z − a| = |z1 − a| ❪✻✧✼ z2 ✽✾✥✿❜ Abel ■ ❝✥✖✗▲❞✺ ❁ |z − a| = |z2 − a|(|z2 − a| > |z1 − a|) ❅ ✽✾✥❡❢❣❤✐✳❍✖✗ P∞ n=0 cn(z − a) n ✺ ❁ |z − a| = |z1 − a| ❪❫❫❬❭✳