$2 Matrix Factorization-Choleski >平方根法/ Choleski's Method*: 对称/ symmetric*正定/ positive definite 矩阵的分解法 定义一个矩阵A=(an)mn称为对称阵,如果an=a。 定义一个矩阵A称为正定阵,如果xAx>0对任意非 零向量x都成立。 m回顾:对称正定阵的几个重要性质 中P亦对称定,且a120 中A的顺序主子阵/ eading principal submatrices*Ak亦对 称正定 中A的特征信6封mx 任意y 令A的全部顺序篮(竟类0∈R有 设对应特征值的非零特征向量 因为de(4)=24A1 =1§2 Matrix Factorization – Choleski ➢ 平方根法 /* Choleski’s Method */： ——对称 /* symmetric */ 正定 /* positive definite */ 矩阵的分解法 定义 一个矩阵 A = ( aij )nn 称为对称阵，如果 aij = aji 。 定义 一个矩阵 A 称为正定阵，如果 对任意非 零向量 都成立。 x Ax  0 T  x  回顾：对称正定阵的几个重要性质  A−1 亦对称正定，且 aii > 0 若不然，则 0   Ax = 存在非零解，即 x Ax = 0 T  存在非零解。  1 1 1 1 , ( ) ( ) − − − − AA = I A A = I  A = A T T T  对任意 , 存在 , 使得 , 即 。 0   x  0   y  Ay x   = y A x  −1  = 0 1 1 = =  − − x A x y AA Ay y Ay T  T  T   a = x Ax  0 其中 T ii   T x = (0...1...0)  第 i 位  A 的顺序主子阵 /* leading principal submatrices */ Ak 亦对 称正定 对称性显然。对任意 有 , 其中 。 k xk  0 R   x A x = x Ax  0 T k k T k     k n R x x           = 0 0      A 的特征值 /* eigen value */ i > 0 设对应特征值  的非零特征向量 为 ，则 。 2 0 x Ax x x x T  T   x  =  =    A 的全部顺序主子式 det ( Ak ) > 0 因为 = = n i A i 1 det( ) 