Laplace Transform- Basic property aplace transform Basic property F(s)+f(t)Aone-to-one relationship domain=② Linearity a,f (t)+a2 2(t)=a, F(s)+a2 2(s) e.g. It if e EnVs(joo)=1 Q: image function of cost, sino s(s) 33) m s+ju s+u2 10 ds) Chapter2: Solving the linear cireuits using Laplace Transform-example Chapter2: Solving the linear circuits using Laplace Transform-example stable Q1: HGjo)Vo/Vs=? stable Q1: HGjoFVo/Vs=? 0.2F stable Q2: Vs=cos(ot) 0.2F stable Q2: Vs=cos(ot), Vo=? Vsc:OIF 。 stable Q3:Vs=1,Vo=? OIF 5g2 Q3: Vs=l, Vo? transient Q4: Vs=u(t), Vo=? transient Q4: Vs=u(t), Vo=? transient Q5: Vs=5(t), Vo= transient Q5: Vs=8(0), Vo=? transient Q6: Vsaf(t), Vo=? transient Q6: Vs-f(t), Vo=? a2()+av2(1)+aov()=4-N1c transform (0+)=K1 Y(s=H(s)F(s) v(O+)=K2 6.. solving in time domain.@ y(o-f(t*h(t) ..solving in transform domain. Chapter2: Solving the linear cireuits using Laplace Transform-example Chapter2: Solving the linear circuits using Laplace Transformexample table Q2: Vs=cos(ot), Vo=? H(s)=o(s)1 Vs(s)4+5+s 。 stable Q3:Vs=1,Vo=? transient Q4: Vs=u(t), Vo=? Vo(s)=H(s)s(s\t+3ts t20+ 5/s transient Q6: Vs=/(t, Vo=? (5+2+、5+2-25(+2-(+2+5 10 O0=2(e-y-e) vel(0-)=Vc2(0-)=0,Vo(0-)=0 voI(t) -2+_(-2-√3)t a()北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 Laplace Transform -- Basic property e.g.1：if Q: image function of = , − αt 1 e s α ( ) ( ) ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ = − = + jωt -jωt jωt -jωt e e 2j 1 sinωt e e 2 1 cosωt ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ + =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − − = + =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + − = ∴ 2 2 2 2 s ω ω s jω 1 s jω 1 2j 1 sinωt s ω s s jω 1 s jω 1 2 1 cosωt unique F( ) () s ↔ f t A one-to-one relationship Linearity α1 f1 () () ( ) ( ) t + α2 f2 t = α1F1 s + α2F2 s = − 1 Q j t e ω s jω cosωt,sinωt *** review 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 Vs(jωo)=1 *** + - Vs ~ 0.1F 5Ω 10Ω 0.2F + - Vo + - Vs(jω) 10/jω ~ 5 10 + - 5/jω Vo(jω) + - Vs(jω) 10/jω ~ 5 10 + - 5/jω Vo(jω) cos(ω0t) 1 o o o 0 ( ) cos( ) s vt t = ω Vs(s)= 2 0 2 s ω s + + - Vs(s) 5 ~ 10 5/s + - Vo(s) 2 10/s 0 2 s ω s + e.g.: (complex method) (Laplace transform method) time domain--t frequency domain--ω complex frequency domain--s Laplace Transform -- Basic property 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 Chapter2：Solving the linear circuits using Laplace Transform—example + - Vs ~ 0.1F 5Ω 10Ω 0.2F + - Vo 2 1 ' 0 0 ' 1 '' 2 (0 ) (0 ) ( ) ( ) ( ) v K v K a v t a v t a v t A o o o o o + = + = + + = N u(t) s(t) N δ(t) h(t) N f(t) y(t) =f(t)*h(t) //…solving in time domain… …solving in time domain…// Q1：H(jω)=Vo/Vs=？ Q2：Vs=cos(ωt)，Vo=？ Q3：Vs=1，Vo=？ Q4：Vs=u(t)，Vo=？ Q5：Vs=δ(t)，Vo=？ Q6：Vs=f(t)，Vo=？ stable stable stable transient transient transient 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 + - Vs ~ 0.1F 5Ω 10Ω 0.2F + - Vo N F(s) Y(s)=H(s)F(s) transform transform Inverse transform Inverse transform ☺☺…solving in transform domain… …solving in transform domain…☺☺ Q1：H(jω)=Vo/Vs=？ Q2：Vs=cos(ωt)，Vo=？ Q3：Vs=1，Vo=？ Q4：Vs=u(t)，Vo=？ Q5：Vs=δ(t)，Vo=？ Q6：Vs=f(t)，Vo=？ stable stable stable transient transient transient Chapter2：Solving the linear circuits using Laplace Transform—example 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 + - Vs ~ 0.1F 5Ω 10Ω 0.2F + - Vo + - 1/s 5 ~ 10 5/s + - Vo 10/s t=0- + - Vs 0.1F 5Ω 10Ω 0.2F + - Vo Vc1(0-)=Vc2(0-)=0， Vo(0-)=0 t≥0+ Q1：H(jω)=Vo/Vs=？ Q2：Vs=cos(ωt)，Vo=？ Q3：Vs=1，Vo=？ Q4：Vs=u(t)，Vo=？ Q5：Vs=δ(t)，Vo=？ Q6：Vs=f(t)，Vo=？ stable stable stable transient transient transient Chapter2：Solving the linear circuits using Laplace Transform—example 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 ) ( 2 3) 1 ( 2 3) 1 ( 2 3 1 ( 2 3)( 2 3) 1 4 1/ ( ) ( ) ( ) 1 + + − + − = + + + − = + + = = − s s s s s s s Vo s H s Vs s 1 4 1 ( ) ( ) ( ) − + + = = Vs s s s Vo s H s ( ) ( ) 2 3 1 ( ) ( 2 3) ( 2 3) 01 v t e e u t − + t − − t = − ( ) 2 3 1 ( ) ( 2 3) ( 2 3) 01 t t v t e e − + − − = − t≥0+ Chapter2：Solving the linear circuits using Laplace Transform—example